標準分數和常態曲線下面積之應用

假設全國英文檢定考試的成績為常態分配，您的成績為180分，您很好奇自己的表現，想知道有多少百分比的成績低於自己的成績（這是之前所提過的百分等級的概念，可參考累積百分比曲線圖的繪製與用途），該怎麼辦呢？

為了解決上述的問題，可以將成績轉換成平均數為0、標準差為1的標準分數，再運用標準常態分配表，查詢低於該標準分數的其他成績所占的百分比。反過來看，若知道百分等級，也可以透過標準常態分配表，找到相應的標準分數後，再計算出成績。

本篇文章將介紹標準分數的意義以及標準分數在常態曲線下面積的應用，包括從分數找曲線下的面積和從曲線下的面積計算出分數，最後再示範SPSS在這些方面的運用。因為本篇文章的內容建立在常態分配的基礎上，建議您可先閱讀常態曲線和曲線下的面積，將有助於以下內容的理解。若您只對其中某部分的內容感興趣，也可點選下方的連結，即可直接跳至您想瞭解的內容。

標準分數的意義
標準常態分配表
- 從分數找曲線下的面積
- 從曲線下的面積找分數
運用SPSS輸出標準分數和計算曲線下面積
運用SPSS從曲線下的面積找數值

標準分數的意義

標準分數（standard score或稱為 $z$ score）是一個轉換後的分數，將想要轉換的數值減去所有數值的平均數後，再除以標準差，帶有大於或小於平均數多少個標準差單位的意義。讓樣本平均數為 $\overline X$ 、標準差為 $s$ ，轉換一個樣本裡的數值 $X$ 至標準分數的公式如下：

$z= \frac {X- \overline X}{s}$

若要轉換母群體裡的數值至標準分數，將上述公式的 $\overline X$ 改成 $\mu$ ， $s$ 改成 $\sigma$ 即可，公式如下：

$z= \frac {X- \mu}{\sigma}$

在一開始所提到的例子裡，假設全國英文檢定考試的平均數為170，標準差為10，則180分的標準分數為：

$z= \frac {180-170}{10} = 1$

標準分數為1，代表180分大於平均數1個標準差單位。常態曲線和曲線下的面積裡提到常態曲線下的面積和平均數、標準差之間有層特殊的關係，在平均數和大於平均數1個標準差的分數之間涵蓋了曲線下34.13%的面積。此外，小於平均數的左半側曲線下面積占了全部面積的50%（見下圖）。因此，在常態曲線下，小於180分的其他分數占了 $50 \% +34.13 \% = 84.13 \%$ ，而 $84.13 \%$ 即為180分的百分等級。

若標準分數剛好為±1、±2或±3，代表原始分數大於或小於平均數1、2或3個標準差單位，確實可以使用常態曲線和曲線下的面積裡提到的常態曲線下的面積來計算百分等級。但現實總不是如此地完美，很多時候標準分數帶有小數，此時就須利用標準常態分配表（Table of the standard normal distribution）來查詢標準分數相對應的曲線下面積。

標準常態分配表

標準常態分配表列出所有的標準分數和各個標準分數相對應的曲線下面積，下表為部分的標準常態分配表（完整的標準常態分配表可從本網頁右側邊列的「下載專區」下載）。曲線下的面積分成兩個部分，一個部分（A）是平均數和標準分數 $z$ 間的面積，另一部分（B）則是超過標準分數 $z$ 的面積。

利用標準常態分配表，可以從一個分數找到大於或小於該分數的常態曲線下的面積，若該分數為數據資料裡的原始分數，須先轉換成標準分數後再查詢表格。反過來看，也可從常態曲線下的面積找到相對應的標準分數後再還原成原始分數。以下將用4個例子說明標準分數和常態曲線下面積在這兩方面的應用。

從分數找曲線下的面積

【例題1】使用一開始的全國英文檢定考試的例子，若有位學生考了189.5分， $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ ，試問他的百分等級是多少呢？

首先，將這位學生的原始成績轉換成標準分數，計算過程如下：

$z= \frac {189.5-170}{10}=1.95$

接著，手繪一如下的常態分配圖形，並標示出平均數170（也就是標準分數為0）、標準分數1.95的位置以及要找尋的曲線下面積的區域。

利用上面的標準常態分配表查詢小於標準分數1.95和平均數之間的曲線下面積，為0.4744，再加上小於平均數的整個左半側的面積0.5， $0.4744+0.5=0.9744$ 。為求得百分比，將0.9744乘以100，得到97.44%，這就是189.5分的百分等級。

【例題2】與例題1同樣的條件， $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ ，但成績為153.8分，試問有多少百分比的成績落在該成績之下呢？

首先，計算出原始成績153.8分的標準分數：

$z= \frac {153.8-170}{10}=-1.62$

接著，手繪一如下的常態分配圖形，標示出平均數170（標準分數0）、標準分數-1.62的位置以及要找尋的曲線下面積的區域。

153.8分的標準分數為-1.62，雖然標準常態分配表並無負值的標準分數，但常態曲線是對稱的，因此負值的標準分數曲線下的面積相同於正值的標準分數曲線下的面積。查詢上面的標準常態分配表，尋找小於標準分數-1.62的面積（也就是大於標準分數1.62的面積），為0.0526。將0.0526乘以100，得到5.26%，代表有5.26%的成績落在153.8分之下。

從曲線下的面積找分數

【例題3】假設一位參加全國英文檢定考試的學生知道自己的百分等級為94.52%，若 $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ ，試問該位學生的成績是多少？

首先，手繪一如下的常態分配圖形，標示出平均數170（標準分數0）的位置和百分等級所占的曲線下面積區域。

曲線下的面積為94.52%，代表這個分數大於平均數，扣除平均數左半側的50%，右邊曲線下的面積為 $94.52\%-50\%=44.52\%$ ，轉換成小數為0.4452。查詢上面的標準常態分配表，當平均數和標準分數間的面積為0.4452時，標準分數 $z$ 為1.60。

將 $z=1.60$ 、 $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ 帶入標準分數的公式裡，進行移項運算後，再計算出原始分數，過程如下：

$\begin{equation*}\begin{aligned}1.60 &= \frac {X-170}{10} \\X &= (1.60 \times 10)+170=186\end{aligned}\end{equation*}$

從上面的計算結果可以知道，百分等級為94.52%時，該位學生的成績為186分。

【例題4】跟上述例題3的條件相同， $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ ，試問涵蓋常態曲線下中間95%面積的分數為何？

首先，手繪一如下的常態分配曲線圖形，因為是涵蓋中間的曲線下面積，所以會有右側與左側兩個分數，讓這兩個分數分別為 $X_1$ 和 $X_2$ 。

因為涵蓋中間95%的面積，所以一側各為47.5%，超出標準分數 $z$ 的面積則各為2.5%。從上面的標準常態分配表查詢平均數和 $z$ 之間的面積為0.4750，或超出 $z$ 的面積為0.0250的欄位，找到的標準分數為1.96。因為常態曲線左右對稱，所以右側大於平均數的 $z$ 為1.96，左側小於平均數的 $z$ 則為-1.96。

將 $z= \pm 1.96$ 、 $\mu=170$ 、 $\sigma=10$ 帶入標準分數的公式裡，進行移項運算後，再求出 $X_1$ 和 $X_2$ 的分數。計算過程如下：

$\begin{equation*}\begin{aligned} 1.96 &= \frac {X_1-170}{10} \\ X_1 &= (1.96 \times 10)+170 = 189.6 \\\\ -1.96 &= \frac {X_2-170}{10} \\ X_2 &= (-1.96 \times 10)+170 = 150.4\end{aligned}\end{equation*}$

從上面的計算結果可以知道，常態曲線下中間95%的面積介於原始成績150.4分和189.6分之間。除了利用標準常態分配表外，也可以運用SPSS從分數找曲線下的面積或從曲線下的面積找分數，以下分別示範操作方法。

運用SPSS輸出標準分數和計算曲線下面積

首先，在SPSS的資料編輯器裡輸入如下圖中的20個分數，變項名稱設為SCORE，接著點選功能表列的分析 » 敘述統計 » 敘述統計，帶出「敘述統計」視窗。關於SPSS的資料輸入方法，可以參考SPSS操作環境和資料輸入。

在「敘述統計」視窗中，將左邊方框裡的SCORE移至右邊的變數(V)方框中，再點選選項(O)，帶出「敘述統計：選項」視窗，確定平均值(M)、標準差(T)皆有被勾選，其餘不動，按下最下方的繼續(C)。回到「敘述統計」視窗後，勾選下方的將標準化值存成變數(Z)，再按下確定。

SPSS會輸出如下的描述統計資訊。從下表可以看出，這樣本有20個分數，而這些分數的平均數為64.8，標準差為12.606。

spss output of descriptive statistics when saving z-scores

回到SPSS資料編輯器頁面，在原本的變項SCORE欄旁多出一個變項ZSCORE欄，此即為每一個原始分數的標準分數。

接著，利用SPSS來計算落在每一個分數之下的其他分數所占的百分比，也就是曲線下的面積，此時須用到SPSS計算功能裡的累積分配函數（cumulative distribution function，簡稱cdf）。點選SPSS功能表列的轉換 » 計算變數，開啟「計算變數」的視窗。

在「計算變數」視窗中，先輸入一個目標變數(T)的名稱，此處輸入cdf。然後在最右側中間的函數群組(G)中選擇CDF與非集中CDF，再從下面的函數與特殊變數(F)中選擇Cdf.Normal，按下旁邊的向上箭頭（下圖標示4的地方），上方的數值表示式(E)會出現CDF.NORMAL(?,?,?)。

CDF.NORMAL的括弧裡要輸入3個數值，第1個數值為欲求得曲線下面積的數值（也就是要找百分等級的原始分數），第2個數值為平均數，第3個數值為標準差。

點一下滑鼠，讓游標停在第1個問號的位置，然後點選左側變數清單裡的SCORE，按下右方的右移鍵，讓SCORE移入第1個問號的位置。接著，在第2個問號的位置輸入64.8，第3個問號的位置輸入12.606（參考上面SPSS輸出的敘述統計表格）。輸入完成後，按下視窗最下方的確定。

回到SPSS的資料編輯器頁面，標準分數ZSCORE欄旁多了一個cdf的變項欄，此即為小於各個分數的其他分數所占的百分比（曲線下的面積）。例如第1個分數70分的cdf值為0.66，代表有66%的分數落在70分之下；第17個分數37分的cdf值為0.01，表示只有1%的分數落在該分數之下。

學會了運用SPSS求得標準分數和從分數找常態曲線下面積的方式後，接下來看看如何使用SPSS從常態曲線下的面積求得數值。

運用SPSS從曲線下的面積找數值

SPSS的累積分配函數（cdf）可用來計算小於一個數值的其他數值所占的百分比，也就是尋找曲線下的面積。若要倒過來，從曲線下的面積來找出相對應的標準分數或原始分數，則可使用逆分配函數（inverse distribution function，簡稱idf），操作過程相似於累積分配函數。

這裡假設要找到涵蓋常態曲線下中間95%面積的兩個標準分數，先新建一新的SPSS資料檔，在第1欄輸入兩個數值，0.9750和0.0250，也就是兩個標準分數相對應的曲線下面積，將該欄的變項名稱設為AREA或任何您喜歡的名稱。接著，點選功能表列的轉換 » 計算變數，帶出「計算變數」的視窗。

在「計算變數」視窗中，先在目標變數(T)裡輸入輸出變項的名稱，此處設為ZSCORE。接著在最右側中間的函數群組(G)中點選逆自由度，再從其下方的函數與特殊變數(F)裡點選Idf.Normal，按下左邊的上移鍵，此時數值表示式(E)方框中會出現IDF.NORMAL(?,?,?)。

點一下滑鼠，讓游標停在第1個問號的位置，然後點選變數清單中的AREA，按下右移鍵，讓AREA出現在第1個問號的位置。第2個與第3個問號分別為平均數與標準差，由於標準分數的平均數為0，標準差為1，所以在第2個問號的位置輸入0，在第3個問號的位置輸入1。輸入完成後，按下最下方的確定。

回到SPSS資料編輯器的頁面，在原本AREA變項的旁邊多了一個ZSCORE變項，此即為涵蓋常態曲線下中間95%面積的兩個標準分數，1.96和-1.96，這結果相同於查詢標準常態分配表的結果。

若要找原始分數，而非標準分數，僅須修改數值表示式(E)裡的平均數和標準差數值。舉例來說，使用上面20個分數的例子，要計算出涵蓋曲線下95%面積的兩個原始分數，已知這20個分數的平均數為64.8，標準差為12.606，所以將這兩個數值輸入至IDF.NORMAL括弧裡的第2個與第3個問號的位置，並在目標變數(T)裡輸入一個變項名稱，此處設為XSCORE。輸入完成後，按下最下方的確定即可。

回到SPSS的資料編輯器頁面，ZSCORE變項旁邊又多出了一個XSCORE變項，此即為涵蓋常態曲線下95%面積的左右側兩個原始分數。

透過上面的練習可以知道，除了查詢標準常態分配表外，也可利用SPSS的累積分配函數找尋小於一個數值的其他數值所占的百分比（曲線下的面積）；或利用逆分配函數，從曲線下的面積來找到標準分數或原始分數。

若沒有SPSS或其他統計分析軟體，也可以使用微軟的Excel來執行相同的運算。雖然須撰寫Excel函數的公式語法，但並不困難，操作上甚至比SPSS更簡單。若您想瞭解Excel的操作方法，可參考如何使用Excel尋找常態曲線下面積或分數。

以上為本篇文章對標準分數和常態曲線下面積之應用的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了標準分數的意義和計算、從分數找常態曲線下的面積和從曲線下的面積找分數的方法，也學會了如何使用SPSS執行這些方面的應用。

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