F分配的定義和F分配臨界值表的解讀

每一種統計檢定方法都有相對應的抽樣分配，才能進行假設檢定，評估虛無假設的真偽。社會統計裡常見的抽樣分配除了常態分配（ｚ分配）、ｔ分配、卡方分配之外，還有一種常見的抽樣分配稱為Ｆ分配。

Ｆ分配是由統計學家Ronald A. Fisher發展出來，用在Ｆ檢定上。不像ｚ檢定、ｔ檢定是以平均數為主要的統計量來進行假設檢定，Ｆ檢定是用變異數來檢驗虛無假設，而Ｆ檢定所使用的Ｆ檢定統計量或稱為Ｆ值即為兩個變異數的比率。

Ｆ分配是執行Ｆ檢定的一個重要元素，瞭解Ｆ分配將有助於假設檢定的過程。以下將先回顧抽樣分配的概念，再說明Ｆ分配的定義和形狀，最後再解釋Ｆ分配臨界值表的用法，並示範利用Excel取得Ｆ臨界值的操作方法。

抽樣分配的概念
Ｆ分配的定義
Ｆ分配的形狀
Ｆ分配臨界值表的解讀
運用Excel取得Ｆ臨界值

抽樣分配的概念

抽樣分配（sampling distribution）是指從一個母群體中抽取出樣本數目為 $N$ 的所有可能樣本，計算出每一個樣本的統計量以及獲得這個統計量的機率，並將所有可能的統計量和各個統計量的發生機率呈現出來的一種機率分配。

社會統計裡一個很基本的抽樣分配為平均數抽樣分配（sampling distribution of the mean），即是從一個母群體裡抽取出樣本數目為 $N$ 的所有可能樣本，計算出每一個樣本的平均數和獲得該平均數的機率，最後呈現出所有可能的平均數和各個平均數發生機率的分布情況。

每一種統計檢定方法都有各自的抽樣分配，例如單一樣本ｚ檢定使用平均數抽樣分配、單一樣本ｔ檢定使用ｔ抽樣分配。各種統計檢定的假設檢定過程中，皆須透過抽樣分配來尋找和檢定統計量比較的臨界值，才能夠評估是否拒絕虛無假設。由此可見，抽樣分配在假設檢定的過程中具有相當的重要性。

Ｆ分配的定義

運用上面提到的抽樣分配的概念，Ｆ抽樣分配（sampling distribution of F）即是由Ｆ值和各個Ｆ值發生機率所組成的機率分配。若有兩個用來預測同一個母群體變異數 $\sigma^2$ 的樣本變異數 $s_1^2$ 和 $s_2^2$ ，且這兩個樣本變異數彼此獨立，基本上Ｆ值就是這兩個樣本的變異數比（variance ratio）。

$\begin{equation*}\begin{CJK*}{UTF8}{bsmi}F=\frac {\sigma^2 \text {的第1個估計值}}{\sigma^2 \text {的第2個估計值}}=\frac {s_1^2}{s_2^2}\end{CJK*}\end{equation*}$

由於Ｆ值和Ｆ值的發生機率組成Ｆ抽樣分配，Ｆ抽樣分配可透過下面的實徵步驟而產生：

從一個母群體裡抽取出樣本數目為 $n_1$ 和 $n_2$ 的所有可能樣本。
計算出每一個樣本的母群體變異數估計值 $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 。
計算出所有可能的 $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 組合的Ｆ值。
計算出各種不同Ｆ值的發生機率。

各種不同的Ｆ值和各個Ｆ值的發生機率所形成的機率分配就是Ｆ抽樣分配。換句話說，如同其他的抽樣分配，Ｆ抽樣分配是指在隨機抽樣的前提下，呈現出所有可能的Ｆ值和各個Ｆ值發生機率的一種機率分配。

因此，Ｆ分配（F distribution）就是指從一母群體中隨機抽取出來的兩個獨立樣本的變異數比之抽樣分配。

Ｆ分配的形狀

如同ｔ分配隨著自由度（degrees of freedom）的改變而有不同的曲線，Ｆ分配也會因為自由度的不同而有不同的形狀。不過，ｔ分配只有1個自由度的數值，Ｆ分配則有2個自由度的數值，1個在分子，另1個在分母。

不論是分子或分母，在計算母群體變異數的估計值時，皆會失去1個自由度。讓分子的自由度為 $df_1$ 、分母的自由度為 $df_2$ 、第1個樣本的數目為 $n_1$ 、第2個樣本的數目為 $n_2$ ，則分子和分母的自由度分別為：

$\begin{align*}df_1 &= n_1-1 \\df_2 &= n_2-1\end{align*}$

Ｆ分配的曲線會隨著分子、分母自由度的不同組合而有不同的形狀，下圖為分子自由度為2、分母自由度為12的Ｆ分配曲線。

從上圖可看出，當分子自由度為2、分母自由度為12時，Ｆ分配曲線為一條隨著Ｆ值的增加，機率逐漸遞減的曲線，還看不太出來Ｆ分配曲線的特性。若稍微增加兩個自由度的數值，當分子自由度為3、分母自由度為21時，Ｆ分配曲線如下圖。

上圖已經顯示出Ｆ分配曲線的特性，這條曲線為高度的正偏態，且多數的Ｆ值落在0和1之間。當自由度的數值愈來愈高，Ｆ分配曲線的正偏態程度會逐漸降低，且愈多的Ｆ值會落在1左右。下圖為分子自由度為10、分母自由度為55的Ｆ分配曲線。

從上面3張不同的分子、分母自由度組合的圖形可以看出Ｆ分配曲線有下列4點特性：

曲線會隨著不同的分子、分母自由度組合而有不同。
曲線並非對稱的，而是呈現正偏態。
Ｆ值永遠是等於或大於0的正數（因為Ｆ值是變異數比，而變異數永遠是正數，所以Ｆ值也會是正數），且中位數約略等於1。
當分子和分母的自由度逐漸增加的時候，曲線也逐漸趨近於常態。

Ｆ分配可用在數種統計檢定上，例如檢驗兩個樣本是否來自於變異數相同的兩個母群體，或檢驗3個或3個以上的樣本是否來自於平均數相同的母群體（也就是變異數分析）。若要執行這些統計檢定，即須使用Ｆ分配臨界值表來尋找Ｆ臨界值，才能評估拒絕或保留虛無假設，下面就來看看這個表格的使用方法。

Ｆ分配臨界值表的解讀

因為Ｆ分配會隨著分子、分母自由度的不同組合而有不同的曲線，所以Ｆ分配臨界值表的主要構成元素即為分子自由度和分母自由度，再加上顯著水準（α水準）。下表為部分的Ｆ分配臨界值表，完整的表格可在本網站右側邊欄的下載專區裡下載。

Ｆ分配臨界值表的第1列為分子自由度，第1欄則為分母自由度。表中的每一格裡有2個Ｆ臨界值，淺藍色底是α水準為0.05時的Ｆ臨界值，白色底則是α水準為0.01時的Ｆ臨界值。

舉例來說，參考上面的表格，當分子自由度為3、分母自由度為15時，α水準為0.05的Ｆ臨界值是3.29，代表有5%的Ｆ值等於或大於3.29。同樣的分子、分母自由度，α水準為0.01的Ｆ臨界值是5.42，代表有1%的Ｆ值等於或大於5.42。

上圖是分子自由度為3、分母自由度為15的Ｆ分配曲線，同時標示出α水準為0.05和0.01時的Ｆ臨界值。從上圖可以看出，使用Ｆ分配進行假設檢定時，Ｆ臨界值是一個單尾的數值，且會落在分配的右側尾端。

運用Excel取得Ｆ臨界值

若沒有Ｆ分配臨界值表，或在表格裡找不到您需要的自由度，以致於無法求得Ｆ臨界值，此時可使用微軟的Excel裡的F.INV.RT函數來計算Ｆ臨界值。

Excel的F.INV.RT函數語法為F.INV.RT(probability, deg_freedom1, deg_freedom2)，括弧裡3個引數的意思如下：

probability：與Ｆ分配的累積分布相關的機率，也就是您設定的α水準。
deg_freedom1：分子的自由度。
deg_freedom2：分母的自由度。

使用上面的例子，若要求得分子自由度為3、分母自由度為15、α水準為0.05時的Ｆ臨界值，可在任一Excel活頁簿的空白儲存格裡輸入=F.INV.RT(0.05, 3, 15)，輸入完成後按下Enter，即會傳回數值3.2874，和查詢Ｆ分配臨界值表而得到的數值相同。

F critical value with alpha 0.05 by excel

同樣地，若要求得分子自由度為3、分母自由度為15、α水準為0.01時的Ｆ臨界值，在任一空白儲存格裡輸入=F.INV.RT(0.01, 3, 15)，輸入完成後按下Enter，會傳回數值5.417，也和查表得到的數值相同。

F critical value with alpha 0.01 by excel

因此，若手邊沒有Ｆ分配臨界值表或找不到需要的數值，也可利用Excel的F.INV.RT函數來計算Ｆ臨界值，操作上可說是相當地簡單。

以上為本篇文章對Ｆ分配的定義和Ｆ分配臨界值表的解讀之介紹，希望透過本篇文章，你瞭解了抽樣分配和Ｆ分配的定義，也學會了Ｆ分配臨界值表的使用與利用Excel求得Ｆ臨界值的操作方法。

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