小樣本或σ未知的信賴區間之計算

Shares14Facebook Tweet Pin LinkedIn Email

信賴區間指可能包含母群體數值的一個數值範圍，不同於使用單一數值作為母體參數估計值的點估計（point estimate），例如以樣本平均數 $\overline X$ 作為母群體平均數 $\mu$ 的估計值，信賴區間是使用一個範圍作為母體參數的估計值，並指出母體參數可能落在該區間的機率，屬於區間估計（interval estimate）。

根據中央極限定理，當樣本數愈大時，抽樣分配會愈趨近於常態分配。因此，在信賴區間的意義和計算（σ已知）裡提到，當樣本數夠大且母群體標準差 $\sigma$ 已知的時候，可以利用常態分配去尋找常態曲線下面積所對應的標準分數（ｚ分數），進而計算出信賴區間。

如果讓 $\overline X$ 代表樣本平均數、 $p$ 為信賴區間的機率值（最常使用0.95或0.99）、 $\sigma$ 為母群體標準差、 $N$ 為樣本總數，當樣本數目 $N \geq 30$ 且母群體標準差 $\sigma$ 已知時，信賴區間可用下面的不等式呈現：

$\overline X - \left ( z_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {\sigma}{\sqrt N} \right ) \leq \mu \leq \overline X + \left ( z_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {\sigma}{\sqrt N} \right )$

然而，當無從得知母群體的標準差或樣本數較小時（ $N<30$ ），便無法使用上述的方式計算信賴區間，而須改用ｔ分配（t distribution）來計算。以下將先介紹ｔ分配的意義，再說明小樣本或 $\sigma$ 未知時信賴區間的計算方法，最後示範利用SPSS求得小樣本或 $\sigma$ 未知時的信賴區間之操作過程。

ｔ分配
小樣本或σ未知時信賴區間的計算
σ未知時信賴區間的實例演算
- 95%信賴區間
- 99%信賴區間
運用SPSS求得σ未知時的信賴區間
- 95%信賴區間
- 99%信賴區間

ｔ分配

ｔ分配為抽樣分配的一種，由William S. Gosset於1908年所提出。運用抽樣分配的概念，ｔ分配是指從一母群體中隨機抽取出樣本大小為 $N$ 的所有可能樣本，計算出每一個樣本的ｔ值與得到該ｔ值的機率，最後呈現出各個ｔ值的機率分布狀態之機率分配。

ｔ分配會隨著樣本大小的不同而有不同的曲線，此點有別於不論樣本大小都只有一條曲線的常態分配。但當母群體本身為常態分配，或樣本數 $N \geq 30$ 時，ｔ分配會趨近於常態分配；當樣本數無限大的時候，ｔ分配即變成常態分配的分配型態（參考下圖）。

但ｔ分配不是單純地因為樣本大小而有不同，它其實是隨著與樣本大小相關的自由度（degrees of freedom，簡稱df）而改變。自由度是指計算一個統計量時，可以自由變動的分數之數目。舉例來說，假設有5個分數且已知平均數為10，若隨意選擇了4個分數，分別為4、6、12、18，則第5個分數必定為10才能讓平均數為10；也就是說，能夠自由變動的分數個數為4，代表自由度為4。因此，若讓一個參數保持恆定，自由度必定為計算這個參數的分數之數目減去1。

小樣本或 $\sigma$ 未知的信賴區間之計算須使用到ｔ分配和單一樣本ｔ值的計算方法，而單一樣本ｔ值的計算公式如下：

(1) $\begin{equation*}t=\frac {\overline X-\mu}{s_{\overline X}}=\frac {\overline X-\mu}{\displaystyle \frac {s}{\sqrt N}}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{CJK*}{UTF8}{bsmi}\begin{align*}\overline X &= \text {樣本平均數} \\\mu &= \text {母群體平均數} \\s_{\overline X} &= \text {估計標準誤} \\s &= \text {樣本標準差} \\N &= \text {樣本總數} \end{align*}\end{CJK*}\end{equation*}$

從上面的公式(1)可看出，因為計算ｔ值時須先計算出樣本標準差 $s$ 而失去1個自由度，所以ｔ的自由度為 $N-1$ 。這個自由度與ｔ分配的曲線型態息息相關，也是下面提到的ｔ分配表查詢時必須知道的訊息之一。

小樣本或σ未知的信賴區間

當母群體標準差 $\sigma$ 未知或樣本數目很小時，並無法使用常態分配和標準分數來計算信賴區間，而須使用ｔ分配和ｔ值來計算。標準分數和ｔ值最大的差別在於，標準分數使用母群體標準差 $\sigma$ 來計算，而ｔ值使用樣本標準差 $s$ 來計算。也就是說，小樣本或 $\sigma$ 未知的信賴區間計算是利用樣本標準差 $s$ 作為母群體標準差 $\sigma$ 的估計值。

將原本計算 $\sigma$ 已知的信賴區間的標準分數ｚ換成ｔ，母群體標準差 $\sigma$ 換成樣本標準差 $s$ ，即為小樣本或 $\sigma$ 未知時信賴區間的計算方式，這時信賴區間的不等式如下：

(2) $\begin{equation*}\overline X - \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right ) \leq \mu \leq \overline X + \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right )\end{equation*}$

上面的不等式裡， $p$ 為信賴區間的機率值，最常使用的機率值為0.95或0.99。從上面的不等式可看出信賴界限分別為：

下信賴限： $\displaystyle \overline X - \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right )$
上信賴限： $\displaystyle \overline X - \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right )$

要找到ｔ值，須使用ｔ分配表，下表為部分的ｔ分配表。實際上，ｔ分配表包含「雙尾檢定的顯著水準」和「單尾檢定的顯著水準」兩部分，由於信賴區間的計算僅使用「雙尾檢定的顯著水準」，所以這裡沒有列出「單尾檢定的顯著水準」的表格內容。另外，表格最左邊的欄（df）為自由度，為樣本總數減去1（ $N-1$ ）。

舉例來說，若樣本總數 $N$ 為27，想找95%的信賴區間，則顯著水準為 $1-0.95=0.05$ ，自由度為 $N-1=26$ ，查詢上表後得到的ｔ值為2.056。

95 percent confidence interval with df 26

將ｔ值2.056帶入上面的不等式(2)，當樣本數目 $N$ 為27時，95%信賴區間的不等式如下：

$\overline X - \left ( 2.056 \times \frac {s}{\sqrt {27}} \right ) \leq \mu \leq \overline X + \left ( 2.056 \times \frac {s}{\sqrt {27}} \right )$

假設樣本數目 $N$ 同樣為27，但改成找99%的信賴區間，此時顯著水準為 $1-0.99=0.01$ ，自由度為 $N-1=26$ 。查詢上面的ｔ分配表，得到的ｔ值為2.779。

99 percent confidence interval with df 26

同樣地，將ｔ值2.779帶入上面的不等式(2)，當樣本數目 $N$ 為27時，99%信賴區間的不等式為：

$\overline X - \left ( 2.779 \times \frac {s}{\sqrt {27}} \right ) \leq \mu \leq \overline X + \left ( 2.779 \times \frac {s}{\sqrt {27}} \right )$

接著，只要再計算出樣本的平均數和標準差，並分別帶入上面95%和99%信賴區間的不等式中，就可得到樣本數目 $N$ 為27時的信賴區間。下面舉一個例子來示範 $\sigma$ 未知時95%和99%信賴區間的計算過程。

σ未知時信賴區間的實例演算

假設一位英文老師想知道她所任職的學校裡高三生的平均英文能力，於是她隨機抽取出30位高三的學生，並給予他們英文能力測驗，成績如下表所示。試問該校高三生的平均英文能力測驗成績的95%和99%信賴區間各為何？

example of confidence interval when sigma unknown

從題目可知母群體的標準差 $\sigma$ 未知，須使用樣本標準差 $s$ 作為 $\sigma$ 的估計值。因此，先計算出這30位學生成績的平均數 $\overline X$ 和標準差 $s$ ，計算方式請分別參考集中趨勢的測量和變異性的測量。

$\begin{align*}\overline X &= 65.93 \\s &= 13.48\end{align*}$

計算得到樣本的平均數和標準差後，就可利用上面的不等式(2)，分別計算該校高三生平均英文能力測驗的95%和99%信賴區間，以下分別示範計算過程。

95%信賴區間

因為是95%信賴區間，所以「雙尾檢定的顯著水準」為 $1-0.95=0.05$ ；而樣本總數為30，所以自由度為 $30-1=29$ 。查詢上面的ｔ分配表，得到ｔ的數值為2.045。

將 $\overline X=65.93$ 、 $s=13.48$ 、 $t=2.045$ 、 $N=30$ 等數值帶入上面的不等式(2)裡：

$\begin{align*}\overline X - \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right ) \leq &\mu \leq \overline X + \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right ) \\[10pt]65.93 - \left ( 2.045 \times \frac {13.48}{\sqrt {30}} \right ) \leq &\mu \leq 65.93 + \left ( 2.045 \times \frac {13.48}{\sqrt {30}} \right ) \\[10pt]60.90 \leq &\mu \leq 70.97\end{align*}$

從計算結果得知，信賴下限為60.90分，信賴上限為70.97分。換句話說，有0.95的機率或95%的信心程度，該校高三生的平均英文能力測驗成績落在60.90分和70.97分之間。

99%信賴區間

因為是99%信賴區間，所以「雙尾檢定的顯著水準」為 $1-0.99=0.01$ ；而樣本總數為30，所以自由度為 $30-1=29$ 。查詢上面的ｔ分配表，找到ｔ值為2.756。

將 $\overline X=65.93$ 、 $s=13.48$ 、 $t=2.756$ 、 $N=30$ 等數值帶入上面的不等式(2)裡：

$\begin{align*}\overline X - \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right ) \leq &\mu \leq \overline X + \left ( t_{\frac {1-p}{2}} \times \frac {s}{\sqrt N} \right ) \\[10pt]65.93 - \left ( 2.756 \times \frac {13.48}{\sqrt {30}} \right ) \leq &\mu \leq 65.93 + \left ( 2.756 \times \frac {13.48}{\sqrt {30}} \right ) \\[10pt]59.15 \leq &\mu \leq 72.71\end{align*}$