兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定

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先前曾探討過2個獨立的皮爾森積差相關係數比較的方法，但有時候想比較的相關係數並非彼此獨立，而是相互關聯，此時不只比較2個相關係數而已，還須考量到所有變項與變項之間的關聯性，因此2個相依的皮爾森積差相關係數比較的運算過程較2個獨立的相關係數比較來得複雜一點。

下面內容將直接介紹2個相依的皮爾森積差相關係數的比較，不再說明皮爾森積差相關係數的意義和計算，若您想瞭解相關係數的基礎內容，請參考何謂皮爾森積差相關係數與如何計算皮爾森積差相關係數。此外，由於文章內容涉及假設檢定，若您不清楚假設檢定的意義和過程，建議您先閱讀假設檢定的步驟和範例和皮爾森積差相關係數的假設檢定，將有助於文章內容的理解喔！

兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的使用時機
兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定
兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的例子
運用SPSS比較兩個相依的皮爾森積差相關係數

兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的使用時機

在兩個獨立的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定裡，介紹了來自2個不同群體的2個皮爾森積差相關係數的比較方法。雖然皮爾森積差相關係數是基於2個相同的變項，但是位在不同的2個群組裡，所以2個相關係數彼此獨立。

當在同一個樣本裡有2個皮爾森積差相關係數，且這2個相關係數帶有共同的變項時，這2個相關係數不再是彼此獨立，而是相互關聯的情況。此時，若想比較這2個皮爾森積差相關係數是否明顯的不同，即須進行2個相依的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定。

舉例來說，一位法學緒論的老師認為學生的學期成績和邏輯能力、應考時焦慮程度有關聯，因此分別計算出在她任教班級裡學期成績和邏輯能力以及學期成績和應考時焦慮程度的2個皮爾森積差相關係數。由於這2個相關係數是基於同一個樣本且帶有學期成績這個共同的變項，所以並非彼此獨立。若要探討這2個相關係數是否明顯不同，就要使用相依的皮爾森積差相關係數比較的方法。

相依的皮爾森積差相關係數比較和獨立的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定步驟沒有不同，差別在於檢定統計量的計算和抽樣分配的型態。因為相依的皮爾森積差相關係數比較不只在於2個相關係數的差異而已，還須考慮到非共同變項的其他變項間的關聯性，所以檢定統計量的計算稍微複雜，下面來看看假設檢定的過程。

兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定

假設檢定的第一步須先擬定研究假設，依據研究目的、理論和過去的研究發現來擬定對立假設和虛無假設。兩個相依的皮爾森積差相關係數的比較在探討2個相關聯的相關係數是否明顯的不同，所以研究假設沒有方向性。假設母群體皮爾森積差相關係數的符號為 $\rho$ ，3個變項分別為x、y、z，第1個相關係數為 $\rho_{xy}$ 而第2個相關係數為 $\rho_{xz}$ ，則研究假設為：

虛無假設（ $H_0$ ）：第1個相關係數和第2個相關係數沒有不同，也就是 $\rho_{xy} = \rho_{xz}$ 。
對立假設（ $H_1$ ）：第1個相關係數和第2個相關係數有所不同，也就是 $\rho_{xy} \neq \rho_{xz}$ 。

研究假設擬定之後，再根據研究的性質和目的，選擇合適的顯著水準（α水準），習慣上為0.05、0.01或更為嚴苛的0.001。另外，因為研究假設沒有方向性，所以適用雙尾檢定。關於顯著水準和統計檢定的方向性，請參考顯著水準和決策規則。

為了檢驗2個相關係數並無不同的虛無假設，在樣本數 $N$ 超過20的時候，Steiger（1980）建議使用Williams（1959）提出的ｔ檢定（Chen & Popovich，2002）。這個檢定統計量的公式如下：

(1) $\begin{equation*}t = (r_{xy}-r_{xz}) \sqrt {\frac {(N-1)(1+r_{yz})}{2 \left ( \dfrac {N-1}{N-3} \right ) \lvert R \rvert + \overline r^2 (1-r_{yz})^3 }}\end{equation*}$

在上面的公式裡， $r_{xy}$ 、 $r_{xz}$ 和 $r_{yz}$ 分別指變項x和y、變項x和z、變項y和z的皮爾森積差相關係數， $\lvert R \rvert$ 為 $3 \times 3$ 交互相關矩陣的行列式，而 $\overline r$ 為想比較的2個相依相關係數的平均數。皮爾森積差相關係數的計算方法請參考如何計算皮爾森積差相關係數，而後面2個數值的計算方法如下：

(2) $\begin{align*}\lvert R \rvert &= (1-r_{xy}^2-r_{xz}^2-r_{yz}^2)+(2 r_{xy} r_{xz} r_{yz}) \\[8pt]\overline r &= \frac {r_{xy}+r_{xz}}{2}\end{align*}$

這個ｔ檢定統計量為ｔ分配的型態且自由度為 $N-3$ ，可以透過ｔ分配表查詢相對應的臨界值。最後，根據檢定統計量和臨界值比較的決策規則，當檢定統計量的絕對值等於或大於臨界值的絕對值時，可以拒絕虛無假設，接受對立假設；反之，保留虛無假設。

雖然公式(1)看起來有點複雜，但實際的計算過程沒有那麼可怕，下面舉個例子來實地操作2個相依的皮爾森積差相關係數比較的假設檢定過程。

兩個相依的皮爾森積差相關係數比較的例子

假設有一位大學法學緒論的教師認為學生在這個科目的學期成績和邏輯能力、智商有關，因此她從任教的班級裡隨機抽取出20位學生，並給予標準化的邏輯能力和智商測驗。她記錄了20位學生的法學緒論學期成績（SCORE）、邏輯能力測驗成績（LOGIC）和智商（IQ），這3個變項的相關矩陣如下表。

example of comparing 2 dependent Pearson correlation coefficients

這位老師想探討學生的學期成績和邏輯能力的皮爾森積差相關係數是否不同於學期成績和智商的皮爾森積差相關係數，若她選擇了0.05的α水準，試問研究結果為何？

由於學期成績和邏輯能力、學期成績和智商這2個皮爾森積差相關係數帶有「學期成績」這個共同的變項，且這2個相關係數來自於相同的20位學生，所以這2個相關係數為相依的相關係數。若要進行比較，須使用2個相依的皮爾森積差相關係數的假設檢定。

如果學期成績和邏輯能力的皮爾森積差相關係數為 $\rho_{sl}$ ，而學期成績和智商的皮爾森積差相關係數為 $\rho_{si}$ ，則虛無假設和對立假設分別為：

虛無假設（ $H_0$ ）：兩個皮爾森積差相關係數沒有不同，也就是 $\rho_{sl} = \rho_{si}$ 。
對立假設（ $H_1$ ）：兩個皮爾森積差相關係數有所不同，也就是 $\rho_{sl} \neq \rho_{si}$ 。

從上面的相關矩陣表格可以看到，學期成績和邏輯能力的皮爾森積差相關係數為0.593，學期成績和智商的皮爾森積差相關係數為0.462，而邏輯能力和智商的皮爾森積差相關係數為0.525。將這些數值先帶入上面的公式(2)裡，計算出 $\lvert R \rvert$ 和 $\overline r$ ，並且把所有無法整除的數值都四捨五入到小數點後第4位，過程如下：

$\begin{align*}\lvert R \rvert &= (1-0.593^2-0.462^2-0.525^2)+(2 \times 0.593 \times 0.462 \times 0.525) \\[5pt]&\approx 0.4469 \\[5pt]\overline r &= \frac {0.593+0.462}{2} = 0.5275\end{align*}$

接著，將 $\lvert R \rvert = 0.4469$ 、 $\overline r = 0.5275$ 這2個數值帶入上面的公式(1)裡，求得ｔ檢定統計量：

$\begin{align*}t &= (0.593-0.462) \sqrt {\frac {(20-1)(1+0.525)}{2 \left ( \dfrac {20-1}{20-3} \right ) (0.4469) + (0.5275)^2 (1-0.525)^3 }} \\[5pt]&= (0.593-0.462) \sqrt {\frac {28.975}{1.0288}} \\[5pt]&\approx 0.6952\end{align*}$

計算結果得到ｔ檢定統計量為0.6952，且自由度為 $N-3=20-3=17$ 。根據ｔ分配表，當α水準為0.05、雙尾檢定且自由度為17的時候，ｔ臨界值為 $\pm 2.110$ 。

critical value of t with alpha 0.05 and df 17

最後，運用決策規則，比較ｔ檢定統計量和臨界值，因為 $\left | 0.6952 \right | < \left | \pm 2.110 \right |$ ，所以保留虛無假設。分析結果指出，雖然學期成績和邏輯能力的皮爾森積差相關係數較學期成績和智商的皮爾森積差相關係數來得大，但兩者並無明顯的不同。

運用SPSS比較兩個相依的皮爾森積差相關係數

SPSS並沒有比較2個相依的皮爾森積差相關係數的功能，必須撰寫語法來執行這類型的分析。關於SPSS的操作環境和資料輸入的方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

若還不知道皮爾森積差相關係數的數值，可先透過SPSS功能表的分析 » 相關 » 雙變異數，把3個變項移到「雙變量相關性」視窗的變數(V)方框裡且其他設定維持不變，按下確定後即可取得如下的相關矩陣表格。

利用相關分析得到兩兩變項的皮爾森積差相關係數後，開啟一空白的SPSS資料編輯器，輸入4個變項和數值。這4個變項分別為想要比較的2個皮爾森積差相關係數（r12、r13）、非共同變項的其他2個變項的皮爾森積差相關係數（r23）和樣本總數（n），而4個變項的數值可從上面的相關矩陣表格取得。

spss data of 2 dependent Pearson correlation coefficients

變項名稱和數值輸入完成後，開啟一空白的語法編輯器，輸入下面的語法。（🐟小提醒：因為有些語法較長，例如 COMPUTE tdiff 那一行，所以網頁的顯示畫面會自動變成2行，但在語法編輯器裡輸入時，不用換行直接輸入完就好。）

COMPUTE detR = (1-r12**2-r13**2-r23**2)+2*(r12*r13*r23).
COMPUTE rbar = (r12+r13)/2.
COMPUTE tdiff = (r12-r13)*sqrt(((n-1)*(1+r23))/((2*((n-1)/(n-3))*detR)+(rbar**2*(1-r23)**3))).
COMPUTE tsig = 2*(1-cdf.t(abs(tdiff),n-3)).
EXECUTE.
FORMATS detR to tsig (F5.3).
LIST VARIABLES = detR rbar tdiff tsig.

上面的語法裡，先利用COMPUTE指令計算 $\lvert R \rvert$ 、 $\overline r$ 、ｔ檢定統計量和獲得該檢定統計量的機率（ $p$ 值），再利用FORMATS指令把所有數值都四捨五入到小數點後第3位，最後利用LIST指令輸出計算的結果。語法輸入完成後，點選功能表的執行 » 全部，就可執行所有的指令。

spss syntax editor menu of running all syntax

SPSS會把語法要求的計算結果輸出至資料編輯器裡，所以資料編輯器裡除了原本的4個變項之外，會再多出4個變項，分別為 $\lvert R \rvert$ 、 $\overline r$ 、ｔ檢定統計量和獲得該檢定統計量的機率這4個數值。

spss data output after running syntax of comparing 2 dependent Pearson correlation coefficients

此外，因為語法裡有LIST指令，要求輸出4個數值到SPSS檢視器，所以在檢視器裡也可看到如下的輸出結果。前面3個數值分別為 $\lvert R \rvert$ 、 $\overline r$ 和ｔ檢定統計量，全部和上面紙筆計算的結果是相同的。

spss output of syntax of comparing 2 dependent Pearson correlation coefficients

第4個數值為獲得ｔ檢定統計量的機率，也就是 $p$ 值。這裡可以使用機率比較的決策規則，比較 $p$ 值和α水準，因為 $p=0.496 > \alpha=0.05$ ，所以保留虛無假設。分析結果指出，學期成績和邏輯能力的皮爾森積差相關係數沒有明顯不同於學期成績和智商的皮爾森積差相關係數，而這個結果和上面利用紙筆運算所得到的結果是一樣的。

若您不習慣撰寫SPSS語法，可以運用上面的公式(1)、(2)來計算ｔ檢定統計量，然後透過ｔ分配表查詢臨界值，再評估虛無假設的結果。但若擔心計算過程出錯，撰寫SPSS語法來執行假設檢定也會是一個不錯的方法喔！

以上為本篇文章對2個相依的皮爾森積差相關係數比較的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了這個分析的使用時機和計算，也學會了利用紙筆運算和SPSS執行這個分析的方法。若您喜歡本篇文章，請將本網站加入書籤，並隨時回訪本網站喔！另外，也歡迎您追蹤本網站的Facebook和／或X（Twitter）專頁喲！

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參考資料

Chen, P. Y., & Popovich, P. M. (2002). Correlation: Parametric and nonparametric measures. Thousand Oaks, CA: Sage.

Steiger, J. H. (1980). Tests for comparing elements of a correlation matrix. Psychological Bulletin, 87(2), 245-251. https://doi.org/10.1037/0033-2909.87.2.245

Williams, E. J. (1959). The comparison of regression variables. Journal of the Royal Statistical Society : Series B (Methodological), 21(2), 396-399. https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1959.tb00346.x

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