肯德爾等級相關係數的假設檢定

肯德爾等級相關係數（Kendall´s tau）是用來測量兩個次序尺度變項資料間關聯程度的一種相關係數，通常用符號 $\tau$ 來表示，而肯德爾等級相關係數的假設檢定即是在檢驗兩變項間的關係是否真實地存在於母群體中。因為肯德爾等級相關係數的分析沒有對樣本來自的母群體有特別的要求，所以屬於一種無母數檢定（non-parametric test）。

雖然肯德爾等級相關係數和斯皮爾曼等級相關係數（Spearman´s rho）都是用來探討兩個次序尺度變項之間的關聯性，但使用度和受歡迎的程度卻比後者來得低。不過有學者指出，當樣本數很小且變項中存在很多相同等級時，肯德爾等級相關係數是一個比斯皮爾曼等級相關係數更好的母體參數估計值，所以應被優先使用（Howell, 2009, p. 306）。

本篇文章將先回顧肯德爾等級相關係數的計算方式，再介紹其假設檢定的過程並舉例說明，最後再示範運用SPSS評估肯德爾等級相關係數假設檢定結果的操作步驟。由於下面內容牽涉到假設檢定，若您不清楚或不熟悉假設檢定的過程，建議您先閱讀假設檢定的步驟和範例，將有助於文章內容的理解。

肯德爾等級相關係數的計算
肯德爾等級相關係數的假設檢定
肯德爾等級相關係數假設檢定的範例
運用SPSS評估肯德爾等級相關係數的假設檢定結果

肯德爾等級相關係數的計算

肯德爾等級相關係數是運用等級反轉（inversion）或不協調（discordant）數目的概念來測量兩個次序尺度變項之間的關聯性，有別於直接將等級當作分數來運算的斯皮爾曼等級相關係數。

在兩個次序尺度變項所構成的配對等級資料裡，若讓C代表協調（concordant）配對的總個數，D代表不協調配對的總個數，N代表配對總組數，肯德爾等級相關係數的基本公式為：

$\tau=\frac {C-D}{N(N-1)/2}$

若資料裡沒有相同等級的存在，上面公式的分母 $N(N-1)/2$ 會等於 $C+D$ ，則上述的公式可再轉換成下面的公式：

$\tau=\frac {C-D}{C+D}$

詳細的協調配對C和不協調配對D總個數的計算方法、資料裡存在相同等級時公式的調整與肯德爾等級相關係數的計算過程，請參考肯德爾等級相關係數的意義和計算。

若所有的配對皆為協調的配對，肯德爾等級相關係數為1，為完全的正向關係；反之，若所有的配對皆為不協調的配對，則肯德爾等級相關係數為-1，為完全的負向關係。關於變項之間關係的型態，請參考變項之間關係的基本特色。

肯德爾等級相關係數的假設檢定

肯德爾等級相關係數用來測量兩個次序尺度變項資料間的關聯程度和方向，由於該相關係數是從母群體中抽取的樣本資料計算而來，所以僅為一個樣本統計量。為了進一步瞭解兩變項之間的關係是否存在於母群體中，就須進行假設檢定。

根據研究的目的、理論基礎和過往的研究發現，先擬定研究假設。肯德爾等級相關係數假設檢定的研究假設可分為有方向性和沒有方向性，有方向性的假設須於對立假設（ $H_1$ ）裡陳述兩個變項構成的配對等級傾向於一致或不一致。虛無假設（ $H_0$ ）則主張兩變項彼此獨立，其間沒有關聯。

擬定完研究假設後，再考量研究的目的、性質和可能帶來的後果，選擇適當的顯著水準或稱為α水準，通常為0.05、0.01或更嚴苛的0.001。此外，依據研究假設是否具有方向性，進而決定假設檢定為雙尾或單尾檢定。研究假設和顯著水準皆設定完成後，才可開始資料蒐集和分析。

因為肯德爾等級相關係數在 $N \geq 10$ 的時候會趨近於常態分配，所以其假設檢定使用常態分配和ｚ檢定統計量。這個ｚ檢定統計量的公式為：

(1) $\begin{equation*}z=\frac {\tau}{s_{\tau}}\end{equation*}$

從上面公式(1)可以看出，檢定統計量為肯德爾等級相關係數除以該相關係數的標準誤估計值 $s_{\tau}$ ，而這個標準誤估計值的計算公式如下：

(2) $\begin{equation*}s_{\tau}=\sqrt {\frac {2(2N+5)}{9N(N-1)}}\end{equation*}$

求得ｚ檢定統計量後，再加上事先設定好的α水準，透過標準常態分配表的查詢，就可找到相對應的臨界值。最後，運用決策規則，若是雙尾檢定，當ｚ檢定統計量的絕對值等於或大於臨界值的絕對值時，即可拒絕虛無假設，接受對立假設；反之，則保留虛無假設。

若是單尾檢定，也就是研究假設具有方向性，當肯德爾等級相關係數的方向不同於事先擬定的對立假設方向時，就直接保留虛無假設。例如對立假設主張兩變項所構成的配對等級傾向於不一致，也就是相關係數會是負值的情況，但分析結果卻得到正值的相關係數，這時即可指出因為相關係數的方向和對立假設的方向不符，所以保留虛無假設。

如果使用統計分析軟體進行假設檢定結果的評估，例如SPSS、SAS，通常會輸出獲得該特定檢定統計量的機率，也就是 $p$ 值，而不是臨界值。此時須改使用機率比較的決策規則，當 $p \leq \alpha$ 時，就可以拒絕虛無假設，接受對立假設。

以下將使用〈肯德爾等級相關係數的意義和計算〉裡兩位評審給予演講比賽名次的例子，運用上面所述的內容，實際地操作假設檢定的過程。

肯德爾等級相關係數假設檢定的範例

假設有一場演講比賽，參與者共10人，兩位評審各給予這10位參與者名次。若第1位評審給的名次為RANK1，第2位評審給的名次為RANK2，這10位參與者的名次如下表所示。若使用0.05的α水準和雙尾檢定，試問這兩位評審給的名次是否有顯著的關聯性或一致性？

由於研究問題為兩位評審對於名次的關聯程度或一致性的程度，沒有指出關聯的方向（也就是趨於一致或不一致），所以使用無方向性的研究假設。對立假設和虛無假設分別為：

對立假設（ $H_1$ ）：兩位評審給的名次有關聯，可能傾向於一致或傾向於不一致。
虛無假設（ $H_0$ ）：兩位評審給的名次彼此獨立，沒有關聯性。

該研究選擇0.05的α水準，且因為研究假設不具有方向性，所以假設檢定為雙尾檢定。若以符號來表示，可以寫成 $\alpha=0.05_{\text {2 tail}}$ 。

由於參與者名次為次序尺度的變項，研究問題為兩個次序尺度變項間是否有顯著的關聯性，且樣本數為10。由於肯德爾等級相關係數在 $N \geq 10$ 時即趨於常態分配，所以這裡選擇肯德爾等級相關係數的統計檢定方法，使用常態分配和ｚ檢定統計量。

從上面的公式(1)知道，計算檢定統計量時須使用到肯德爾等級相關係數 $\tau$ 和其標準誤估計值 $s_{\tau}$ 。從〈肯德爾等級相關係數的意義和計算〉裡肯德爾等級相關係數的計算已經知道這個例子的肯德爾等級相關係數 $\tau$ 為0.4222（為求精確，取到小數點後第4位），標準誤估計值 $s_{\tau}$ 則可利用上面的公式(2)來取得，已知 $N=10$ ，計算過程如下：

$s_{\tau}=\sqrt {\frac {2(2N+5)}{9N(N-1)}}=\sqrt {\frac {2(20+5)}{90(10-1)}}=\sqrt {\frac {50}{810}} \approx 0.2485$

再將相關係數0.4222和標準誤估計值0.2485帶入公式(1)裡，ｚ檢定統計量的計算過程如下：

$z=\frac {\tau}{s_{\tau}}=\frac {0.4222}{0.2485} \approx 1.699$

計算結果顯示ｚ檢定統計量為1.699。當α水準為0.05、雙尾檢定時，落在常態曲線兩側尾端的面積各為0.025。查詢標準常態分配表，當「超過標準分數z之外的面積」（下表B欄）為0.025時，標準分數為1.96。因為是雙尾檢定，所以正確地說 $z=\pm 1.96$ ，而這也是臨界值。

最後，運用決策規則，比較ｚ檢定統計量和臨界值，因為檢定統計量的絕對值小於臨界值的絕對值（ $\left | 1.699 \right | < \left | \pm 1.96 \right |$ ），所以保留虛無假設。分析結果指出，兩位評審給予演講參與者的名次彼此獨立，沒有關聯性存在。

運用SPSS評估肯德爾等級相關係數的假設檢定結果

將上面例子裡兩個變項的資料輸入至SPSS資料編輯器裡，輸入完成後點選功能表的分析 » 相關 » 雙變異數，帶出「雙變量相關性」視窗。關於SPSS資料輸入的方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

在「雙變量相關性」視窗裡，將兩個次序尺度的變項RANK1和RANK2移到變數(V)方框中，然後勾選相關係數長框裡的Kendall´s tau-b選項、顯著性檢定長框中的雙尾(T)選項，最後按下視窗最下方的確定。

經過上面的步驟，SPSS會輸出如下的「相關性」表格。不論是看RANK1欄或RANK2欄皆可，這兩個次序尺度變項的肯德爾等級相關係數為0.422，而得到該值的機率（ $p$ 值）為0.089。

spss output of hypothesis test of kendall tau

運用機率比較的決策規則，因為 $p$ 值大於事先設定的α水準（ $0.089>0.05$ ），所以保留虛無假設。分析結果顯示，兩位評審給10位演講參與者的名次彼此獨立，沒有關聯存在。

這裡有一點要說明，SPSS計算出來的肯德爾等級相關係數是考量了相同等級存在而對公式的分母稍做調整的Kendall´s tau-b，有別於文章內容所提到沒有相同等級存在的公式，稱為Kendall´s tau-a。若兩個次序尺度變項資料裡都沒有相同等級存在的話，Kendall´s tau-b的數值會等於Kendall´s tau-a的數值。

以上為本篇文章對肯德爾等級相關係數假設檢定的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了肯德爾等級相關係數的假設檢定過程，也學會了如何運用SPSS評估肯德爾等級相關係數的假設檢定結果。

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參考資料

Howell, D. C. (2009). Statistical methods for psychology (7th ed.). Belmont, CA: Wadsworth.

肯德爾等級相關係數的計算

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肯德爾等級相關係數假設檢定的範例

運用SPSS評估肯德爾等級相關係數的假設檢定結果

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