單一樣本t檢定的假設檢定

單一樣本ｔ檢定（one-sample t-test）的假設檢定和單一樣本ｚ檢定的假設檢定相當類似，都是用來檢驗一個樣本平均數是否來自於特定母群體的虛無假設，兩者最主要的差別在於母群體標準差是否為已知的狀態。

ｔ檢定是由William S. Gosset以Student的筆名所提出，所以也稱為Student´s ｔ檢定。在行為或社會科學的研究領域裡，ｔ檢定是一個很強大且常被使用的統計檢定方法，包含單一樣本ｔ檢定、獨立樣本ｔ檢定和關聯樣本ｔ檢定，本篇文章將針對單一樣本ｔ檢定做詳細的介紹。

由於下面的內容牽涉到假設檢定，若您不清楚或不熟悉假設檢定的過程，建議您先閱讀假設檢定的步驟和範例，將有助於文章內容的理解。以下將先說明單一樣本ｔ檢定和單一樣本ｚ檢定的差異，再介紹ｔ抽樣分配和單一樣本ｔ檢定的假設檢定，並舉例說明，最後示範利用SPSS執行單一樣本ｔ檢定的操作方法。

單一樣本ｔ檢定和單一樣本ｚ檢定的比較
ｔ抽樣分配
單一樣本ｔ檢定的假設檢定
單一樣本ｔ檢定的範例
運用SPSS執行單一樣本ｔ檢定

單一樣本ｔ檢定和單一樣本ｚ檢定的比較

單一樣本ｔ檢定和單一樣本ｚ檢定同樣用來比較一個樣本平均數和一個已知的母群體平均數，但不同於單一樣本ｚ檢定是在母群體標準差已知的情況下使用，單一樣本ｔ檢定是在母群體標準差未知的情況下使用。因為母群體標準差未知，所以單一樣本ｔ檢定用樣本標準差估計母群體標準差。下表為兩者公式的比較：

單一樣本ｚ檢定	單一樣本ｔ檢定
$\begin{align} z &= \frac {\overline X-\mu}{\sigma_{\overline X}} \\ &= \frac {\overline X-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt{N}}} \end{align}$	$\begin{align} t &= \frac {\overline X-\mu}{s_{\overline X}} \\ &= \frac {\overline X-\mu}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}} \end{align}$
$\begin{equation} \begin{CJK}{UTF8}{bsmi} \begin{align} \mu &= \text {母群體平均數} \\ \overline X &= \text {樣本平均數} \\ \sigma &= \text {母群體標準差} \\ s &= \text {樣本標準差} \\ \sigma_{\overline X} &= \text {平均數標準誤} \\ s_{\overline X} &= \text {估計平均數標準誤} \\ N &= \text {樣本總個數} \end{align} \end{CJK} \end{equation}$

從上表可看出，兩個公式的分子並無不同，差別在於分母的計算。單一樣本ｚ檢定公式的分母為母群體標準差 $\sigma$ 除以 $\sqrt N$ ，而單一樣本ｔ檢定公式的分母為樣本標準差 $s$ 除以 $\sqrt N$ 。也就是說，單一樣本ｔ檢定用估計平均數標準誤 $s_{\overline X}$ 取代平均數標準誤 $\sigma_{\overline X}$ 。

另外一個差別在於樣本的大小。使用單一樣本ｚ檢定時，樣本數須等於或大於30，然而單一樣本ｔ檢定則可使用在樣本數小於30的情況。

簡單來說，當 $N \geq 30$ 且母群體標準差 $\sigma$ 已知時，使用單一樣本ｚ檢定；但當 $N < 30$ 或母群體標準差 $\sigma$ 未知時，則須使用單一樣本ｔ檢定。

由於單一樣本ｔ檢定適用在小樣本上，所以假設檢定不適用單一樣本ｚ檢定的常態分配，而須使用ｔ抽樣分配。雖然ｔ抽樣分配和常態分配一樣，都是對稱的分配型態，但具有獨特的特性，下面來看看ｔ抽樣分配的特性。

ｔ抽樣分配

ｔ抽樣分配（sampling distribution of $t$ ）是指從母群體中隨機抽取出樣本大小為 $N$ 的所有可能樣本，計算出每一個樣本的ｔ值和獲得該ｔ值的機率，最後呈現出各個ｔ值的機率分布狀態之機率分配。關於抽樣分配的概念，請參考平均數抽樣分配的定義和特性。

不像ｚ分配僅有一條曲線（常態曲線），ｔ分配會隨著樣本大小而有不同的曲線。當樣本數等於或大於30時，ｔ分配就會趨近於常態分配。但更正確地說，ｔ分配是隨著自由度（degrees of freedom，簡寫為df）的改變而有不同的曲線，而非單純地因為樣本大小而改變。

自由度是指計算一個統計量時，可以自由變動的分數個數。舉例來說，若隨機從一母群體裡抽取出5個分數，這5個分數都可自由地變動。但若已知平均數為15，則不可能5個分數皆可自由地變動，假設前4個分數為5、10、15、20，最後一個分數必定為25，才能使平均數為15，因此自由度為4（ $N-1=5-1=4$ ）。

因為曲線會隨著自由度而改變，所以ｔ分配有很多條曲線，如下圖。ｔ分配為對稱的鐘形曲線，且平均數為0，可用來決定得到一個特定數值的機率值。自由度愈高時，曲線會愈接近常態分配的曲線型態。當自由度等於30時，ｔ分配已趨近於常態分配；當自由度無限大時，ｔ分配和常態分配已全然相同。

單一樣本ｔ檢定的假設檢定和單一樣本ｚ檢定的假設檢定沒有太大的不同，最主要的差別在於不同抽樣分配和檢定統計量的使用。前者使用ｔ抽樣分配和ｔ檢定統計量，而後者使用常態分配和ｚ檢定統計量，下面就來說明單一樣本ｔ檢定的假設檢定過程。

單一樣本ｔ檢定的假設檢定

單一樣本ｔ檢定用來比較一個樣本平均數 $\overline X$ 是否顯著地不同於一個已知的母群體平均數 $\mu$ ，且母群體標準差 $\sigma$ 是未知的情況。對立假設（ $H_1$ ）可為無方向性或有方向性，端視研究目的而定。有關研究假設的詳細介紹，請參考研究假設的種類和寫法。

根據研究的性質、目的，選擇適當的顯著水準（α水準），通常為0.05、0.01或更嚴苛的0.001。再依據已擬定好的研究假設，決定假設檢定為單尾檢定或雙尾檢定。關於顯著水準、單尾和雙尾檢定的詳細說明，請參考顯著水準和決策規則。

單一樣本ｔ檢定的檢定統計量為ｔ檢定統計量，分子為樣本平均數和母群體平均數的差值，分母為樣本標準差除以 $\sqrt N$ 。公式如下：

(1) $\begin{equation*}t=\frac {\overline X-\mu}{s_{\overline X}} =\frac {\overline X-\mu}{\displaystyle \frac {s}{\sqrt N}}\end{equation*}$

藉由事先選擇好的α水準，查詢ｔ分配表，自由度為 $N-1$ ，找出相對應的臨界值，並比較ｔ檢定統計量和臨界值。若研究假設不具方向性（雙尾檢定），當ｔ檢定統計量的絕對值等於或大於臨界值的絕對值時，即可拒絕虛無假設，接受對立假設；反之，則保留虛無假設。

若使用統計分析軟體來執行單一樣本ｔ檢定，通常會輸出獲得該特定ｔ檢定統計量的機率值（ $p$ 值），反而省卻了查詢表格的麻煩。機率比較的決策規則為，當 $p$ 值小於或等於α水準（ $p \leq \alpha$ ）時，即可拒絕虛無假設，接受對立假設；反之，則保留虛無假設。

若使用有方向性的研究假設（單尾檢定），須注意ｔ檢定統計量和對立假設的方向要一致，否則就應保留虛無假設。例如對立假設為樣本平均數小於母群體平均數，計算出來的ｔ檢定統計量須為負數，才能進一步比較ｔ檢定統計量和臨界值。反之，若ｔ檢定統計量為正數，因為和對立假設的方向相反，所以須保留虛無假設。

單一樣本ｔ檢定用來比較一個樣本平均數和一個已知的母群體平均數，操作上並不困難，但在使用前資料須滿足下述的兩個條件：

統計量為平均數：基本統計量為一個樣本平均數 $\overline X$ ，且母群體平均數 $\mu$ 已知，但母群體標準差 $\sigma$ 未知。
抽樣分配為常態分配：平均數抽樣分配須呈現常態分配，也就是樣本數等於或大於30，或樣本來自的母群體呈現常態分配。

瞭解了單一樣本ｔ檢定的假設檢定步驟後，接著舉一個例子來實際操作單一樣本ｔ檢定的假設檢定過程。

單一樣本ｔ檢定的範例

有一位大學心理學教師向學生介紹一種有效率的學習方法，並要求學生付諸實行。兩個星期後，她向班上的9位學生發放問卷，調查學生的學習行為，分數愈高代表學生的讀書時間較長且運用了她介紹的學習方法，9位學生的分數如下表。該位教師在過往的教學紀錄顯示問卷的平均分數為68分，她想探討今年學生的學習行為是否不同於過往的學生。

因為該位教師想瞭解今年學生的學習行為「是否不同於」過往的學生，所以研究假設為無方向性的假設，對立假設和虛無假設的寫法如下：

對立假設（ $H_1$ ）：今年學生的學習行為不同於過往的學生。也就是說，今年的學生來自於 $\mu \neq 68$ 的母群體。
虛無假設（ $H_0$ ）：今年學生的學習行為相同於過往的學生。也就是說，今年的學生來自於 $\mu = 68$ 的母群體。

由於這位老師只是想瞭解今年學生的學習行為，所以選擇了0.05的α水準。另外，因為研究假設沒有方向性，所以使用雙尾檢定，若用符號來表示，可以寫成 $\alpha=0.05_{\text {2 tail}}$ 。

因為研究問題為一個樣本平均數（今年學生的問卷平均分數）是否顯著地異於一個已知的母群體平均數（過往學生的問卷平均分數），再加上母群體標準差未知，且樣本數小於30，所以選擇單一樣本ｔ檢定和ｔ抽樣分配，其檢定統計量為ｔ檢定統計量。

由於計算ｔ檢定統計量時，需要樣本平均數和標準差，所以這裡先計算出9位學生的問卷平均數和標準差。這9位學生的問卷平均數為：

$\overline X &= \frac {82+77+60+70+79+68+73+75+64}{9}= 72$

標準差的計算需要每個分數和平均數間的離差 $(X_i-\overline X)$ ，以及每一個分數的離差平方 $(X_i-\overline X)^2$ ，可先在如下的表格裡計算出來。

calculation of standard deviation for one-sample t-test example

接著，將上表中每一個分數的離差平方加起來，再把總和帶入樣本標準差的公式裡：

$s=\sqrt {\frac {\sum \limits_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2}{N-1}}=\sqrt {\frac {412}{9-1}} \approx 7.17635$

最後，將已經計算出來的樣本平均數和標準差帶入上面ｔ檢定統計量的公式(1)裡：

$t=\frac {\overline X-\mu}{\displaystyle \frac {s}{\sqrt N}}=\frac {72-68}{\displaystyle \frac {7.17635}{\sqrt 9}}=\frac {4}{2.39212} \approx 1.672$

計算結果顯示ｔ檢定統計量為1.672。然後，查詢ｔ分配表，當α水準為0.05、雙尾檢定、自由度為8（ $N-1=9-1$ ）時，ｔ臨界值為 $\pm 2.306$ 。

critical value of t distribution with df 8 and alpha 0.05

比較ｔ檢定統計量的絕對值和ｔ臨界值的絕對值，依據決策規則，因為 $\left | 1.672 \right | < \left | \pm 2.306 \right |$ ，所以保留虛無假設。分析結果顯示，今年學生的學習行為和過往學生的學習行為並無不同。

若使用統計分析軟體執行單一樣本ｔ檢定，軟體會輸出獲得ｔ檢定統計量的機率值，決策規則可改成 $p$ 值和α水準的比較。以下示範利用SPSS執行單一樣本ｔ檢定的過程，以及如何解釋輸出表格裡的數據。

運用SPSS執行單一樣本ｔ檢定

將上面範例中的9個分數輸入至SPSS資料編輯器裡，變項名稱為SCORE。輸入完成後，點選功能表的分析 » 比較平均數 » 單一樣本Ｔ檢定，帶出「單樣本Ｔ檢定」視窗。關於SPSS的資料輸入方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

在「單樣本Ｔ檢定」視窗中，將左邊方框中的變項SCORE移至右邊檢定變數(T)的方框裡。該方框正下方的檢定值(V)是指母群體平均數的數值，此處為68，所以在該欄位輸入68。

在「單樣本Ｔ檢定」視窗的最右邊有個選項(O)，點選後會出現「單樣本Ｔ檢定：選項」小視窗，該視窗裡的信賴區間百分比(C)指α水準的設定。若α水準為0.05，在該欄位輸入95；若α水準為0.01，則輸入99。輸入完成後，點選繼續(C)，回到上一個視窗後再點選確定。

options dialog box of one-sample t-test in spss

經過上面的步驟，SPSS會輸出兩個表格，第1個為「單一樣本統計量」表，第2個為「單一樣本檢定」表。第1個「單一樣本統計量」表格為樣本的描述統計量，從下表可看出，樣本總個數為9、樣本平均數為72、樣本標準差為7.176，標準誤平均值（SPSS的翻譯有點奇怪，應是「平均數標準誤」）即是標準差除以 $\sqrt N$ （ $7.176 \div \sqrt 9$ ），也是ｔ檢定統計量公式的分母。

spss output of descriptive statistics for one-sample t-test

第2個「單一樣本檢定」表格為單一樣本ｔ檢定的分析結果，該表格顯示樣本平均數和母群體平均數的差值為4、自由度為8、ｔ檢定統計量為1.672，而獲得該統計量的機率為0.133。

依據決策規則，若 $p \leq \alpha$ ，即可拒絕虛無假設，接受對立假設。獲得ｔ檢定統計量的 $p$ 值為0.133，α水準為0.05，因為 $0.133>0.05$ ，所以保留虛無假設。分析結果顯示，今年學生的學習行為並沒有不同於過往學生的學習行為。

因此，不論是透過紙筆計算的檢定統計量和臨界值的比較，或藉由統計分析軟體的 $p$ 值和α水準的比較，都可得到相同的分析結果。另外，有一點須注意的是，SPSS輸出的機率值為雙尾檢定的機率值，若要使用單尾檢定，必須將機率值除以2後，再與α水準做比較。

以上為本篇文章對單一樣本ｔ檢定的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了單一樣本ｔ檢定的使用時機、ｔ抽樣分配的特性和單一樣本ｔ檢定的假設檢定過程，也學會了利用SPSS執行單一樣本ｔ檢定的操作方法。

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單一樣本ｚ檢定	單一樣本ｔ檢定
$\begin{align} z &= \frac {\overline X-\mu}{\sigma_{\overline X}} \\ &= \frac {\overline X-\mu}{\dfrac {\sigma}{\sqrt{N}}} \end{align}$	$\begin{align} t &= \frac {\overline X-\mu}{s_{\overline X}} \\ &= \frac {\overline X-\mu}{\dfrac {s}{\sqrt {N}}} \end{align}$
$\begin{equation} \begin{CJK}{UTF8}{bsmi} \begin{align} \mu &= \text {母群體平均數} \\ \overline X &= \text {樣本平均數} \\ \sigma &= \text {母群體標準差} \\ s &= \text {樣本標準差} \\ \sigma_{\overline X} &= \text {平均數標準誤} \\ s_{\overline X} &= \text {估計平均數標準誤} \\ N &= \text {樣本總個數} \end{align} \end{CJK} \end{equation}$

單一樣本ｔ檢定和單一樣本ｚ檢定的比較

ｔ抽樣分配

單一樣本ｔ檢定的假設檢定

單一樣本ｔ檢定的範例

運用SPSS執行單一樣本ｔ檢定

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