社會統計常用的基本數學符號和運算

基礎社會統計所使用的數學很簡單，大多為加減乘除的運算，雖然有時會看到較複雜的公式，例如皮爾森積差相關係數的計算、各種統計檢定的檢定統計量，但若能釐清算術運算的順序，應該都能迎刃而解。

不過，對於不喜歡數學的社會科學領域的學生或許久未接觸數學的人士，即使是簡易的運算，也可能變得生疏。因此，為了讓本網站的社會統計相關的內容更易於理解，本篇文章將回顧一下社會統計常用的基本數學符號和運算。

雖然電子計算機的使用已經普及，且大多數的社會統計課程也允許電子計算機的使用，藉此降低運算錯誤的機率，但其使用仍舊建立於數學基礎上，所以具備基礎數學的概念將有助於使用正確的程序來進行運算。以下將簡單地複習基本的數學符號和算術運算的規則。

數學符號
總和／求和運算
加法和減法
乘法
除法
指數和平方根
絕對值
階乘
排列
組合
代數運算
四捨五入

數學符號

基本的數學符號包括關係符號（relation symbol）和運算符號（operation symbol）。關係符號用來表示相等或比較，例如＝、＞、＜；運算符號則用於數值的計算，例如＋、－、×、÷，下表為社會統計常用的數學符號。

table of basic mathematical symbols and operations

總和／求和運算

總和或求和（summation）是社會統計最常使用到的運算方法，指將一組數值的全部或部分分數相加，通常會用希臘符號Σ（讀音為sigma）來表示。總和運算的代數呈現方式如下：

(1) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^N X_i=X_1+X_2+X_3+\cdots+X_N\end{equation*}$

總和運算符號Σ的下方指出第1個要加總的分數，符號的上方則指出最後一個要加總的分數，所以上面的公式是指把第1個分數加到第 $N$ 個分數。

若計算時要將所有的數值相加，也就是從第1個分數加到第 $N$ 個分數，則通常會省略總和運算符號的上、下限標示，也會省略 $X$ 的下標，變成 $\sum X$ 。

另外有兩個和上面的方程式(1)很類似，而且也是社會統計很常使用到的總和運算，就是 $\sum X^2$ 和 $(\sum X)^2$ 。 $\sum X^2$ 是指每一個分數平方後再相加，方程式如下：

(2) $\begin{equation*}\sum_{i=1}^N X_i^2 = X_1^2+X_2^2+X_3^2+\cdots+X_N^2\end{equation*}$

不同於 $\sum X^2$ 的每個分數平方後再相加， $(\sum X)^2$ 是指全部的分數相加後再整個平方，方程式為：

(3) $\begin{equation*}\left ( \sum_{i=1}^N X_i \right )^2 = (X_1+X_2+X_3+\cdots+X_N)^2\end{equation*}$

和方程式(1)一樣，若計算的過程是加總一組數值裡的每一個分數，則總和符號的上、下限標示和 $X$ 的下標皆可省略，直接寫成 $\sum X^2$ 和 $(\sum X)^2$ 。雖然這3個總和運算的方程式看起來很類似，但實際上他們的計算結果完全不同，以下舉個例子來練習。

✎練習題

假設 $X$ 變項有5個分數，從小至大分別為2、8、12、15、20，試問 $\sum X$ 、 $\sum X^2$ 和 $(\sum X)^2$ 分別為多少？

$X$ 變項有5個分數， $X_1=2$ 、 $X_2=8$ 、 $X_3=12$ 、 $X_4=15$ 、 $X_5=20$ ，套用上面的方程式(1)、(2)和(3)， $\sum X$ 、 $\sum X^2$ 和 $(\sum X)^2$ 的計算過程如下：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{3}&\sum X &&= 2+8+12+15+20 &&= 57 \\&\sum X^2 &&= 2^2+8^2+12^2+15^2+20^2 &&= 837 \\&\left ( \sum X \right )^2 &&= (2+8+12+15+20)^2 &&= 57^2 = 3249\end{alignat*}\end{gather*}$

從這練習題可以知道， $\sum X \neq \sum X^2 \neq (\sum X)^2$ 。因為社會統計的公式很常使用到這3種總和運算，例如標準差、皮爾森積差相關係數，所以釐清他們之間的不同很重要。

加法和減法

進行加法（addition）運算時，數值的順序不會影響計算的結果，例如 $1+2+3=2+3+1$ 。但相加的數值裡若有負數的時候，須注意運算符號的變化。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&1+2+(-3)+4 &&= 1+2-3+4 = 4 \\&1+(-2)+(-3)+4 &&= 1-2-3+4 = 0\end{alignat*}\end{gather*}$

和加法運算不同，進行減法（subtraction）運算的時候，數值的順序不能隨意更動，否則會影響計算的結果，例如 $5-2-1 \neq 2-5-1$ 。另外，相減的數值裡若有負數的時候，須注意運算符號的變化。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&15-2-(-3)-5 &&= 15-2+3-5 = 11 \\&15-2-(-3)-(-5) &&= 15-2+3+5 = 21\end{alignat*}\end{gather*}$

乘法

進行乘法（multiplication）運算的時候，數值的排列順序不會影響計算的結果，例如：

$2 \times 4 \times 6 = 4 \times 6 \times 2 = 6 \times 2 \times 4 = 48$

一組數值相乘的時候，若數值裡的負數個數為偶數，相乘的結果為正數；若數值裡的負數個數為單數，則相乘的結果為負數。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{3}&2 \times (-4) \times (-6) &&= &&48 \\&2 \times (-4) \times 6 &&= -&&48\end{alignat*}\end{gather*}$

當乘法和加法或減法一起使用的時候，須先進行乘法後再進行加法或減法。但若有括號存在的時候，則須先執行括號裡的運算。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&3 \times 5 + 6 &&= 15+6 = 21 \\&3 \times (5+6) &&= 3 \times 11 = 33 \\&3 \times (12-2) &&= 3 \times 10 = 30\end{alignat*}\end{gather*}$

若括號被包含在中括號內，須先進行括號內的運算，再執行中括號裡的運算，最後再進行所有括號外的運算。例如：

$\begin{align*}[ 3 \times (2+7)+5 ] \times 10 &= [ 3 \times 9+5 ] \times 10 \\&= [ 27+5 ] \times 10 \\&= 32 \times 10 \\&= 320\end{align*}$

若相乘的數值帶有小數點，須注意小數點所在的位置，避免計算結果放錯小數點的位置。例如：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&10 \times 0.5 && = 5 \\&10 \times 0.05 && = 0.5\end{alignat*}\end{gather*}$

除法

進行除法（division）運算時，數值的位置不能夠隨意變換，例如 $10 \div 5 \neq 5 \div 10$ 。除了使用÷來表示除法運算外，還可以使用下面的方式來呈現：

$\frac {10}{5} = 2$

橫線下方的數值稱為分母（denominator），橫線上方的數值稱為分子（numerator）。以上面的例子來看，分母為5，分子為10，而這也是社會統計的公式很常使用的呈現方法。

一組數值相除的時候，若負數的個數為偶數，計算的結果為正數；若負數的個數為單數，則計算的結果為負數。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{3}& 100 \div (-2) \div (-5) &&= &&10 \\& 100 \div (-2) \div 5 &&= -&&10\end{alignat*}\end{gather*}$

若除法和加法或減法一起使用的時候，須先進行除法後再進行加法或減法。但若有括號存在的時候，須先進行括號內的運算。

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{3}&15 \div 5 - 2 &&= 3-2 &&= 1 \\&15 \div (5-2) &&= 15 \div 3 &&= 5 \\&15 \div (2+3) &&= 15\div 5 &&= 3\end{alignat*}\end{gather*}$

若括號被包含在中括號內，須先進行括號內的運算，再執行中括號內的運算，最後再進行所有括號外的運算。

$\begin{align*}30 \div [(5-2) \times (2+3)] &= 30 \div [3 \times 5] \\&= 30 \div 15 \\&= 2\end{align*}$

若相除的數值帶有小數點，須注意小數點所在的位置，避免計算結果放錯小數點的位置。例如：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}& \frac {10}{0.5} &&= 20 \\& \frac {10}{0.05} &&= 200\end{alignat*}\end{gather*}$

指數和平方根

指數（exponentiation）是指一個數值的幾次方，可用符號 $X^n$ 來表示。 $X$ 稱為底數， $n$ 即為指數，白話來說就是幾次方，計算方法是將數值 $X$ 乘以自己 $n$ 次。最常見的指數為平方，也就是數值乘以自己2次，例如 $2^2=2 \times 2=4$ 。再舉兩個例子：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&2^3=2 \times 2 \times 2 &&=8 \\&2^4=2 \times 2 \times 2 \times 2 &&=16\end{alignat*}\end{gather*}$

若將兩個具有相同底數的指數相乘，則底數維持不變，指數為兩個指數相加。例如：

$2^2 \times 2^3 = 2^{2+3} = 2^5 = 32$

若將兩個具有相同底數的指數相除，則底數維持不變，指數為兩個指數相減（或分子的指數減分母的指數）。例如：

$\begin{align*}2^5 \div 2^2 &= 2^{5-2} = 2^3 = 8 \\\frac {2^5}{2^2} &= 2^{5-2} = 2^3 = 8\end{align*}$

平方根（square root）為平方的相反。假設 $X^2=Y$ ， $Y$ 稱為 $X$ 的平方， $X$ 則稱為 $Y$ 的平方根，也就是 $\sqrt Y=X$ 。例如：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&\sqrt 9 &&= 3 \\&\sqrt {225} &&=15\end{alignat*}\end{gather*}$

絕對值

絕對值（absolute value）會用兩條垂直的線來表示，例如 $X$ 的絕對值為 $\left | X \right |$ 。絕對值將一個數值轉換為正數，所以正數的絕對值為自己，負數的絕對值則會變成沒有負號的正數。例如：

$\begin{gather*}\begin{alignat*}{2}&\left | 10 \right | &&= 10 \\&\left | -10 \right | &&= 10\end{alignat*}\end{gather*}$

階乘

一個正整數的階乘（factorial）是指等於和小於這個正整數的所有正整數的乘積，會用這個正整數和一個驚嘆號來表示，例如5!指5的階乘、8!指8的階乘。這2個階乘的計算方法分別為：

$\begin{align*}5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \\8! &= 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\end{align*}$

也就是說， $n$ 階乘就是 $n \times (n-1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$ 。此外，有一個比較特別的是，0階乘等於1。

排列

排列（permutation）是用來決定數個人或物有幾種被安排在一起的方法，例如從5位學生裡挑出3位不同課程小老師的所有安排方法。若讓 $N$ 代表人或物的數目， $r$ 代表一次從 $N$ 挑出來的人或物數目， $P_r^N$ 為所有可能的安排方法數目， $P_r^N$ 的公式如下：

$P_r^N = \frac {N!}{(N-r)!}$

舉例來說，假設有A、B、C、D四位學生，導師打算從4人當中挑出2位分別擔任法學緒論和犯罪學的小老師，試問有幾種排列的方法？先用土法煉鋼的方式，列出所有可能的排列方法：

A　B	B　A	C　A	D　A
A　C	B　C	C　B	D　B
A　D	B　D	C　D	D　C

一共有12種排列方法，但當資料很多的時候，逐一列出的方法並不可行，所以可利用上面的排列公式。這個例子裡一共有4位學生（ $N=4$ ）且要從中挑出2位（ $r=2$ ），把這2個數值帶入上面的公式，計算過程如下：

$\begin{align*}P_2^4 &= \frac {4!}{(4-2)!} \\[5pt]&= \frac {4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} \\[5pt]&= 12\end{align*}$

計算結果指出從4位學生當中挑出2位分別擔任不同課程小老師的排列方法有12種，和土法煉鋼的結果是一樣的。在這個例子裡，排列的順序是有意義、重要的，若不在乎排列的順序，則可利用下面「組合」的方法來計算。

組合

組合（combination）是決定數個人或物有幾種被安排在一起的方法，但不在意被安排的順序，也就是排列的順序不重要，例如A、B和B、A為不同的排列但視為相同的組合。若讓 $N$ 代表人或物的數目， $r$ 代表一次從 $N$ 挑出來的人或物數目， $C_r^N$ 為所有可能的組合數目， $C_r^N$ 的公式如下：

$C_r^N = \frac {N!}{r!(N-r)!}$

同樣用上面A、B、C、D四位學生的例子，假設導師要從這4位學生中挑出2位來擔任法學緒論和犯罪學的小老師，不在乎誰先被挑出來，試問有幾種組合？先用土法煉鋼的方式，列出所有可能的組合：

A　B	B　C
A　C	B　D
A　D	C　D

利用逐一列出的方法可發現一共有6種組合，若改用上面的組合公式來計算，把 $N=4$ 、 $r=2$ 帶入公式裡，計算過程如下：

$\begin{align*}C_2^4 &= \frac {4!}{2!(4-2)!} \\[5pt]&= \frac {4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} \\[5pt]&= 6\end{align*}$

利用組合公式計算得到的結果指出，從4位學生中挑出2位學生來擔任2門課程的小老師，若不在乎學生被挑出來的順序，一共有6種可能的組合。

代數運算

社會統計比較常碰到的代數問題在於解決一個未知數，最常運用到移項（transposition）。移項是指將一個數值從方程式等號的一邊移到等號的另外一邊，並改變這個數值的運算符號，以下為移項規則：

$\begin{gather*}X+Y=Z \quad \Rightarrow \quad X=Z-Y \\X-Y=Z \quad \Rightarrow \quad X=Z+Y \\X \times Y=Z \quad \Rightarrow \quad X=Z \div Y \\X \div Y=Z \quad \Rightarrow \quad X=Z \times Y\end{gather*}$

透過上述的移項規則，就可以求得未知數。依照上面移項規則的順序，分別舉一個例子來練習：

$\begin{gather*}X+2=5 \quad \Rightarrow \quad X=5-2=3 \\X-3=5 \quad \Rightarrow \quad X=5+3=8 \\X \times 2=8 \quad \Rightarrow \quad X=8 \div 2=4 \\X \div 2=4 \quad \Rightarrow \quad X=4 \times 2=8\end{gather*}$

稍微複雜一點的移項可能牽涉到除法運算，例如標準分數和常態曲線下面積之應用裡面的計算。以下舉個未知數 $X$ 在分子的例子，並示範求得 $X$ 的過程。

$\begin{align*}&10 = \frac {X-70}{15} \\\Rightarrow \quad &10 \times 15 = X-70 \\\Rightarrow \quad &X = 150+70=220\end{align*}$

四捨五入

社會統計的數值運算結果若無法整除，須運用捨入（rounding）規則，把數值取到小數點後第2位或第3位。不過，不同於較常使用的四捨五入，社會統計採用一種更精確的捨入規則，稱為四捨六入五成雙，藉此減少分析時的系統偏誤。捨入規則的步驟如下：

先確認要保留的小數位數，然後在要保留的小數位數後面置入一個倒v的插入符號。舉例來說，若要把26.32459取到小數點後第2位，將數值標示成26.32^459。
把插入符號右邊數字的第1個數字前加入一個小數點，使其變成一個小數，然後比較這個小數和0.5，如果這個小數小於0.5，就直接捨去。在上面的例子裡，把459變成0.459，再和0.5比較，因為0.459小於0.5，所以直接捨去，26.32459變成26.32。
如果插入符號右邊的小數大於0.5，則插入符號左邊的數字加1。例如把26.32519取到小數點後第2位，因為0.519大於0.5，所以26.32519進位成26.33。
如果插入符號右邊的小數剛好等於0.5，則視插入符號左邊的數字為奇數或偶數來決定捨入。
- 若插入符號左邊的數字為奇數，把數字加1。例如把26.31500取到小數點後第2位，因為0.500剛好等於0.5且1為奇數，所以26.31500進位成26.32。
- 若插入符號左邊的數字為偶數，保留原來的數字。例如把數值26.32500取到小數點後第2位，因為0.500剛好等於0.5且2為偶數，所以26.32500變成26.32。

數值	插入符號	評估部分	和 0.5 比較		捨入結果
26.32459	26.32^459	.459	< 0.5		26.32
26.32519	26.32^519	.519	> 0.5		26.33
			和 0.5 比較	插入符號左邊數字
26.31500	26.31^500	.500	= 0.5	奇數	26.32
26.32500	26.32^500	.500	= 0.5	偶數	26.32

當進行運算的時候，在達到最後的結果前，中間可能會經過許多步驟。在中間的運算步驟，不要做任何的捨入，若是紙筆運算則儘可能保留多一點的小數位數，一直到最後的統計量再進行捨入，以避免過大的進位誤差。

以上為社會統計常用的基本數學符號和運算，雖然都是些簡單的概念和算術運算，但熟習他們將會使社會統計的學習更容易上手。希望透過這些簡單數學的複習，能夠讓不喜歡數學或遠離數學很久的您重拾一些對數學的感覺喔。

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