單一樣本z檢定的假設檢定

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單一樣本ｚ檢定（one-sample z-test）屬於比較檢定（comparison test）的統計檢定類型，而單一樣本ｚ檢定的假設檢定用來檢驗一個樣本的平均數是否來自於某特定的母群體，須在母群體標準差已知的情況下才能使用，是假設檢定裡最基本的一種類型。

由於下面的內容牽涉到假設檢定，若您不清楚或不熟悉假設檢定的過程，建議您先閱讀假設檢定的步驟和範例，將有助於文章內容的理解。以下將介紹單一樣本ｚ檢定的假設檢定，並舉個例子說明，再示範利用SPSS執行單一樣本ｚ檢定的方式。

單一樣本ｚ檢定的假設檢定
單一樣本ｚ檢定的範例
運用SPSS執行單一樣本ｚ檢定

單一樣本ｚ檢定的假設檢定

單一樣本ｚ檢定的基本統計量為樣本平均數，用來和一個已知的母群體平均數相比較，透過平均數抽樣分配（sampling distribution of the mean）來計算獲得特定檢定統計量的機率（ $p$ 值），最後評估拒絕或保留虛無假設。

平均數抽樣分配是指從母群體中隨機抽取出樣本大小為 $N$ 的所有可能樣本，計算出每一個樣本的平均數 $\overline X$ 與獲得該平均數的機率，最後呈現出各個平均數機率分布情形的機率分配。平均數抽樣分配有3個特性：

$\mu_{\overline X}=\mu$ ：平均數抽樣分配的平均數等於母群體平均數。
$\sigma_{\overline X}=\dfrac {\sigma}{\sqrt N}$ ：平均數抽樣分配的標準差（標準誤）等於母群體標準差除以 $\sqrt N$ 。
中央極限定理：不管母群體本身的分布型態，只要樣本數愈大，平均數抽樣分配就會愈趨近於常態分配。

基本上，在社會或行為科學的研究裡，當 $N \geq 30$ 時，平均數抽樣分配即呈現常態分配的型態。更詳細的平均數抽樣分配的說明，請參考平均數抽樣分配的定義和特性。

研究資料蒐集前，須擬定好研究假設和選擇適當的顯著水準，資料蒐集後再進行分析。單一樣本ｚ檢定使用常態分配和ｚ檢定統計量，而計算ｚ檢定統計量的公式和求得ｚ分數（也就是標準分數）的公式非常相似，唯一的差別在於ｚ分數的計算使用原始數據，但ｚ檢定統計量的計算則使用平均數，請見下表。

ｚ分數	ｚ檢定統計量
$z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$	$z=\dfrac{\overline X-\mu_{\overline X}}{\sigma_{\overline X}}$

根據上面提到的平均數抽樣分配的前2個特性，ｚ檢定統計量的計算公式可變成：

(1) $\begin{equation*}z=\frac {\overline X-\mu_{\overline X}}{\sigma_{\overline X}}=\frac {\overline X-\mu}{\displaystyle \frac {\sigma}{\sqrt N}}\end{equation*}$

由於平均數抽樣分配在樣本數夠大時會呈現常態分配，所以計算出ｚ檢定統計量後，可透過標準常態分配表的查詢去找到獲得該統計量的機率（ $p$ 值）。最後運用決策規則，若 $p$ 值等於或小於事先設定好的顯著水準或稱為α水準，即可拒絕虛無假設，接受對立假設。

除了運用上述的機率比較方法之外，還可透過檢定統計量和臨界值（critical value）的比較來評估研究結果。臨界值是由顯著水準所決定，指能夠拒絕虛無假設的臨界區域（critical region）之邊界值。若是雙尾檢定，當檢定統計量的絕對值等於或大於臨界值的絕對值時，即可拒絕虛無假設，接受對立假設。

若是單尾檢定，須注意ｚ檢定統計量的方向是否和對立假設所闡述的方向一致，若方向不一致，即保留虛無假設。若方向一致，當檢定統計量的絕對值等於或大於臨界值的絕對值時，即可拒絕虛無假設，接受對立假設。

單一樣本ｚ檢定用來比較一個樣本平均數和一個母群體平均數，其假設檢定的過程並不困難，但在使用該檢定前，資料須滿足以下3個條件：

統計量為平均數：欲評估的基本統計量為樣本平均數（ $\overline X$ ）。
母體參數已知：母群體的平均數 $\mu$ 和標準差 $\sigma$ 為已知的情況。
抽樣分配為常態分配：平均數抽樣分配呈現常態分配，也就是 $N \geq 30$ ，或母群體本身呈現常態分配。

瞭解了單一樣本ｚ檢定的假設檢定過程後，下面舉一個例子來實際操作單一樣本ｚ檢定的假設檢定過程。

單一樣本ｚ檢定的範例

假設有一位大學教師已經教授多年的基礎社會統計學，紀錄顯示往年的學生期末考平均成績為70分，標準差為9。今年有64位學生，他們的期末考平均成績為73分，該位教師想知道今年的學生表現是否比往年的學生優秀，因此決定使用單一樣本ｚ檢定進行假設檢定。

因為該位教師覺得今年的學生表現比往年優秀，所以使用有方向性的研究假設。對立假設和虛無假設如下：

對立假設（ $H_1$ ）：今年的學生在基礎社會統計學的表現較往年的學生優秀。也就是說，今年的學生來自於 $\mu >70$ 的母群體。
虛無假設（ $H_0$ ）：今年的學生在基礎社會統計學的表現沒有比往年的學生優秀。也就是說，今年的學生來自於 $\mu \leq 70$ 的母群體。

由於研究屬於探索性質，所以老師選擇了0.05的顯著水準（α水準）。另外，老師使用了有方向性的研究假設，因此須用單尾檢定，若用符號來呈現為 $\alpha = 0.05_{\text {1 tail}}$ 。接著，利用上面的公式(1)來計算ｚ檢定統計量：

$z = \frac {\overline X-\mu_{\overline X}}{\sigma_{\overline X}} = \frac {\overline X-\mu}{\displaystyle \frac {\sigma}{\sqrt N}} = \frac {73-70}{\displaystyle \frac {9}{\sqrt {64}}} = \frac {3}{1.125} \approx 2.67$

因為對立假設為今年的學生表現較往年優秀， $\overline X-\mu >0$ ，所以計算出來的ｚ檢定統計量須為正數，才能做進一步的評估，否則直接保留虛無假設。從上面的計算結果得知ｚ檢定統計量為正數，所以可繼續探討是否拒絕虛無假設。

評估研究結果的決策規則有兩種，第1種是 $p$ 值和α水準的比較，第2種是檢定統計量和臨界值的比較，以下分別示範。

方法1：p值和α水準的比較

因為是單尾檢定，且對立假設為今年的學生表現「較好」，所以0.05的α水準會集中在分配的右側，請參考下圖1。

illustration of 1-tailed one-sample z-test — 圖1

接下來，查詢標準常態分配表，當 $z=2.67$ 時，等於或大於該值的 $p$ 值為0.0038（下表的B欄）。由於ｚ檢定統計量為正數，所以檢視分配右側的 $p$ 值，並比較該 $p$ 值和α水準。關於常態分配下連續變項的機率計算，請參考連續變項的機率計算。

因為 $p=0.0038 < \alpha=0.05$ ，所以可拒絕虛無假設，接受對立假設。分析結果顯示，今年學生在基礎社會統計學的表現較往年的學生優秀。

方法2：檢定統計量和臨界值的比較

臨界值是由顯著水準（α水準）所決定，透過標準常態分配表的查詢可以知道，當等於或大於ｚ的機率為0.05（上表的B欄）時， $z=(1.64+1.65) \div 2 =1.645$ ，此即為α水準為0.05時的臨界值。而等於或大於臨界值的區塊即為臨界區域，也就是上圖1中藍色加灰色的區塊，只要檢定統計量落在該區域，即可拒絕虛無假設。

此處ｚ檢定統計量為2.67，因為 $2.67>1.645$ ，代表該統計量落在臨界區域，所以可拒絕虛無假設，接受對立假設。

因此，不論是使用上述的哪一種決策規則，研究結果皆顯示今年學生在基礎社會統計學的表現優於往年的學生表現。

運用SPSS執行單一樣本ｚ檢定

SPSS功能表的分析 » 比較平均數的選單中並沒有單一樣本ｚ檢定的選項，但這不代表SPSS無法執行單一樣本ｚ檢定。對於無法直接透過表單點選來執行的功能，其實可藉由指令的撰寫，要求SPSS執行，以下示範利用SPSS指令的撰寫來執行單一樣本ｚ檢定的方式。

點選SPSS功能表單的檔案 » 新建 » 語法，開啟語法編輯器視窗。在這個視窗裡，可以撰寫資料操控和統計分析的指令。關於SPSS的操作環境，可以參考SPSS操作環境和資料輸入。

在語法編輯器裡，輸入和下圖中一樣的內容，或下載單一樣本ｚ檢定的SPSS語法檔案，複製檔案裡的內容並貼至SPSS的語法編輯器裡。您可依自己的需求，更改BEGIN DATA和END DATA指令中間的4個數字，分別代表樣本平均數、母群體平均數、母群體標準差和樣本數。輸入完成後，點選功能表的執行 » 全部。

SPSS會輸出如下的結果至檢視器中，ｚ檢定統計量為2.67，與上面紙筆計算的結果相同。但SPSS輸出的 $p$ 值為雙尾檢定的機率，若要求得單尾檢定的機率，須將其除以2。這裡SPSS輸出的 $p$ 值為0.0077， $0.0077 \div 2=0.00385$ ，此即為上面範例中單尾檢定的 $p$ 值。

再比較 $p$ 值和α水準，因為 $0.00385<0.05$ ，所以可以拒絕虛無假設，接受對立假設。SPSS分析結果指出，今年學生在基礎社會統計學的表現優於往年的學生。

單一樣本ｚ檢定須在母群體標準差 $\sigma$ 已知且樣本數 $N \geq 30$ 的情況下能才使用，若母群體標準差 $\sigma$ 未知或樣本數 $N<30$ 時，則須使用單一樣本ｔ檢定，請參考單一樣本ｔ檢定的假設檢定。

以上為本篇文章對單一樣本ｚ檢定的假設檢定過程之介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了單一樣本ｚ檢定的使用時機和假設檢定的過程，也學會了利用SPSS語法的撰寫來執行單一樣本ｚ檢定的方法。

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