斯皮爾曼等級相關係數的意義和計算

斯皮爾曼等級相關係數（Spearman´s rank correlation coefficient）為相關係數的一種，也可稱為Spearman´s rho，符號為 $r_s$ ，主要是用來測量次序尺度變項間關聯方向和程度的一個無母數統計量（non-parametric statistic）。

在社會和行為科學的研究領域裡，最常使用皮爾森積差相關係數（Pearson product-moment correlation coefficient）來探討兩個變項之間的關聯性，但這個係數僅能用在等距尺度或比率尺度的資料上。當其中一個變項或兩個變項皆為次序尺度時，則須使用斯皮爾曼等級相關係數，以便更正確地測量出兩變項間的相關程度。

簡單地說，斯皮爾曼等級相關係數是用來測量兩個次序尺度變項資料間關聯程度的一種相關係數。若兩變項中的其中一個變項不是次序尺度，而是等距或比率尺度，須先將變項資料依照數值大小排序、轉換成等級後，再進行相關係數的運算。

本篇文章將依據資料中相同等級的存在與否，介紹斯皮爾曼等級相關係數的計算方法，然後再示範SPSS取得該相關係數的操作過程。若您只對其中一部分的內容感興趣，也可以點選下方的連結，即可直接跳至您想瞭解的內容。

斯皮爾曼等級相關係數的公式
不存在相同等級的斯皮爾曼等級相關係數之計算
存在相同等級的斯皮爾曼等級相關係數之計算
運用SPSS取得斯皮爾曼等級相關係數
- 不存在相同等級
- 存在相同等級

斯皮爾曼等級相關係數的公式

斯皮爾曼等級相關係數其實是皮爾森積差相關係數的一個特例，因為直接使用皮爾森積差相關係數的公式來計算太麻煩，所以若兩個變項裡都不存在相同等級，或只有存在1組或2組的相同等級時（也就是平手的情況），可用下面這個比較簡單的公式來計算斯皮爾曼等級相關係數：

(1) $\begin{equation*}r_s=1-\frac {6\sum d_i^2}{N^3-N}\end{equation*}$

上面的公式(1)裡， $d_i$ 指第 $i$ 組的第1個變項等級減第2個變項等級的等級差值、 $\sum d_i^2$ 為等級差值平方和、 $N$ 為配對等級的總組數（資料裡若沒有遺漏值，也等於樣本總個數）。

如果任一變項裡存在較多組的相同等級，則直接使用皮爾森積差相關係數的公式。即使變項裡不存在相同等級或很少組的相同等級，也可直接使用皮爾森積差相關係數的公式。皮爾森積差相關係數的概念公式可以參考如何計算皮爾森積差相關係數，但為了減少運算錯誤，可改使用下面的運算公式：

(2) $\begin{equation*}r_s=\frac {\sum xy-\dfrac {(\sum x)(\sum y)}{N}}{\sqrt {\left [ \sum x^2-\dfrac {(\sum x)^2}{N} \right ] \left [ \sum y^2-\dfrac {(\sum y)^2}{N} \right ]}}\end{equation*}$

上面的公式(2)裡， $\sum x$ 、 $\sum y$ 分別指兩變項各自的分數和， $\sum x^2$ 、 $\sum y^2$ 分別指兩變項各自的分數平方和， $\sum xy$ 為兩變項分數的交叉乘積和。若您不清楚總和運算的方法，可參考社會統計常用的基本數學符號和運算。

這裡有一點要注意，計算斯皮爾曼等級相關係數時，若一個變項為次序尺度，另一個變項為等距或比率尺度，須先將等距或比率尺度的變項依照數值大小排序並列出等級後，再套用斯皮爾曼等級相關係數的公式。若兩個變項皆為次序尺度，則可直接套用公式。

以下將舉個例子來示範斯皮爾曼等級相關係數的紙筆計算過程，並分為相同等級存在和不存在的情況，最後再介紹利用SPSS取得該相關係數的方式。

不存在相同等級的斯皮爾曼等級相關係數之計算

假設有一位老師想知道學生期中考的名次和期末考名次之間的關聯性，他隨機挑選出10位學生，分別列出他們的期中考和期末考的名次，且沒有學生是相同的名次，如下表所示。

因為資料中不存在相同等級，所以可使用上面的公式(1)。首先，在如下的表格裡計算出套用公式(1)所需要的數值資料。

computation of spearman rho without ties

接著，將上表中的數值帶入斯皮爾曼等級相關係數的公式(1)裡，計算過程如下：

$\begin{align*}r_s &=1-\frac {6\sum d_i^2}{N^3-N} \\&=1-\frac {6 \times 72}{10^3-10} \\&=1-\frac {432}{990} \\&\approx 0.564\end{align*}$

計算結果顯示相關係數為0.564，代表學生期中考和期末考名次之間的關聯程度高，且正數的相關係數指出期中考的名次愈好，期末考的名次也會愈好。

存在相同等級的斯皮爾曼等級相關係數之計算

若任一變項裡存在相同的等級（也就是平手的情況），則須先計算出平均等級後，再計算套用公式所需要的數值資料。

假設上面的範例中，第2位和第5位學生的期末考成績相同，同列第7名。因為兩人同時占據了第7名和第8名的位置，所以要取平均的名次， $(7+8) \div 2=7.5$ ，也就是這兩位學生的名次同為第7.5名，如下表所示。

由於資料中僅有1組相同等級的存在，所以可使用上面較為簡單的公式(1)，先在如下的表格裡計算利用公式(1)所需要的數值資料。

再將上表中的數值帶入斯皮爾曼等級相關係數的公式(1)裡，計算過程如下：

$\begin{align*}r_s &=1-\frac {6\sum d_i^2}{N^3-N} \\&=1-\frac {6 \times 68.5}{10^3-10} \\&=1-\frac {411}{990} \\&\approx 0.585\end{align*}$

計算結果顯示相關係數為0.585，代表期中考和期末考名次的相關程度高，且正號的相關係數表示期中考的名次愈好，期末考的名次也愈好。

為了比較使用皮爾森積差相關係數公式和公式(1)的計算結果之差距，這裡也使用上面的公式(2)來計算這個例子。首先，在如下的表格裡計算出套用公式(2)所需要的數值資料。

computation of spearman rho with ties using Pearson r equation

再將上表中的數值帶入皮爾森積差相關係數的公式(2)裡，計算過程如下：

$\begin{align*} r_s &= \frac {\sum xy-\dfrac {(\sum x)(\sum y)}{N}}{\sqrt {\left [ \sum x^2-\dfrac {(\sum x)^2}{N} \right ] \left [ \sum y^2-\dfrac {(\sum y)^2}{N} \right ]}} \\&= \frac {350.5-\dfrac {(55)(55)}{10}}{\sqrt {\left [ 385-\dfrac {(55)^2}{10} \right ] \left [ 384.5-\dfrac {(55)^2}{10} \right ]}} \\& \approx 0.584\end{align*}$