淨相關、半淨相關的意義和計算【Venn Diagram 解說】

Posted on By Dr. Fish
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行為和社會科學的研究領域很常探討變項之間的相關程度，而最基本的型態就是2個變項間的關係。不過有時候2個變項可能同時和另一個或多個變項有關聯，這時若想瞭解移除（或控制）其他變項的作用後2變項之間的關係，就須使用到淨相關或半淨相關。

淨相關和半淨相關的主要用途不盡相同，淨相關最主要用來探討當其他變項的作用被移除後2個變項之間的獨特關係，而半淨相關主要應用在一個依變項和數個自變項的多元線性迴歸分析裡，用來解釋每一個自變項對依變項的獨特貢獻。

為了說明上的方便並讓概念更易理解，下面內容將使用3個變項組成的 Venn Diagram（中文翻譯為文氏圖）來介紹淨相關、半淨相關的意義和計算。由於文章內容建立在變項關係的基礎上，若您不清楚或不熟悉「相關」的概念，建議您先閱讀變項之間關係的基本特色、何謂皮爾森積差相關係數，將有助於文章內容的理解喔！

淨相關的意義

淨相關的英文為 partial correlation，有些中文翻譯為「偏相關」，是指在去除或控制了1個或多個變項的作用後2個變項間的關聯性。若依變項為 Y、第1個自變項為 X1、第2個自變項為 X2，則去除了第2個自變項的作用後依變項和第1個自變項間的淨相關係數可用 r_{Y1 \cdot 2} 來表示。如果有 k 個自變項，符號變成 r_{Y1 \cdot 23...k}。

換句話說，自變項 X2 可能同時和依變項 Y 和自變項 X1 有關聯，如果想瞭解 Y 和 X1 之間的「純淨」關係，就必須排除或控制 X2 的效應。為了達到這個目的，先建構一條 X2 預測 Y 的最小平方迴歸線，並求得每一個 Y 觀察值的殘差（residual，也就是預測誤差），這些殘差可被視為除去 X2 作用的 Y 值。接著，再建構一條 X2 預測 X1 的最小平方迴歸線，並求得每一個 X1 觀察值的殘差，這些殘差可被視為除去 X2 影響的 X1 值。最後，這2組殘差值的相關係數就是移除 X2 作用的 Y 和 X1 的淨相關係數。

如果用決定係數（r^2）的方式來說明淨相關，Venn diagram 能夠清楚地呈現變項間的關係。下圖裡每個變項都用1個圓圈來表示，且已標準化讓每個變項的變異數為1。依變項 Y 和自變項 X1、X2 相互關聯，X1 可以解釋 Y 裡面 Ｂ+Ｃ 的變異， X2 可以解釋 Y 裡面Ｃ+Ｄ的變異，而 X1 和 X2 相關聯在Ｃ+Ｅ的部分。

Venn diagram of partial correlation

為了移除 X2 對 Y 和 X1 的作用，所以把 X2 的圓圈變成藍色，明顯地看到Ｃ、Ｄ和Ｅ在藍色範圍裡。移除了 X2 作用的 Y 只剩下Ａ+Ｂ，而移除了 X2 作用的 X1 只剩Ｂ和 Y 有關聯，所以 Y 和 X1 的淨相關係數平方就是Ｂ在Ａ+Ｂ裡所占的比例。

    \[ r_{Y1 \cdot 2}^2 = \frac {B}{A+B} \]

同樣的道理，若改成移除 X1 的作用，則 Y 和 X2 的淨相關係數平方變成Ｄ在Ａ+Ｄ裡所占的比例。

    \[ r_{Y2 \cdot 1}^2 = \frac {D}{A+D} \]

由於淨相關是去除了單一或多個自變項對於2個變項的作用，所以主要在探討2個變項間的獨特或純淨的關係，和半淨相關的主要用途不太相同，下面來看看半淨相關的意義。

半淨相關的意義

半淨相關的英文為 semipartial correlation，也有人用 part correlation，所以有些中文翻譯為「部分相關」。半淨相關是指1個依變項和1個移除了其他變項作用的自變項之間的相關性，若依變項為 Y、自變項為 X1 和 X2，則除去了 X2 作用的 X1 和 Y 之間的半淨相關係數符號為 r_{Y(1 \cdot 2)}。

半淨相關和淨相關最大的不同之處在於半淨相關只有對自變項移除了其他變項的作用，但淨相關則不只對自變項也對依變項移除了其他變項的作用。換句話說，若要探討依變項 Y 和移除自變項 X2 影響的自變項 X1 的半淨相關，只須建構一條 X2 預測 X1 的最小平方迴歸線，並求得每一個 X1 觀察值的殘差，然後計算這組殘差值和依變項 Y 的相關係數，這個相關係數就是 Y 和 X1 的半淨相關係數。

用下面的 Venn Diagram 來說明半淨相關會更容易理解，因為 Y 沒有移除 X2 的作用，所以整個變異維持在Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ，也就是1。變項 X1 要除去 X2 的作用，也就是Ｃ+Ｅ的部分，只剩下Ｂ和 Y 相關聯。因此，Y 和 X1 的半淨相關平方就是Ｂ。

Venn diagram of semipartial correlation

從上面的說明可以發現，Y 和 X1 的半淨相關Ｂ其實是自變項 X1 對依變項 Y 的獨特貢獻，而把Ｂ加上自變項 X2 和依變項 Y 的決定係數（Ｃ+Ｄ）就是3個變項的複相關係數平方（Ｒ平方）。

    \[ R^2 = r_{Y(1 \cdot 2)}^2 + r_{Y2}^2 \]

因此，當有多個自變項的時候，半淨相關可用來解釋每個自變項和依變項的獨特關聯，例如上面的 Venn Diagram 裡，Ｂ為 X1 和 Y 的獨特關聯，而Ｄ為 X2 和 Y 的獨特關聯。此外，在Ｒ平方裡，除了第1個自變項和依變項的決定係數之外，其餘每個自變項和依變項的半淨相關係數平方都提供了附加且不過剩的資訊。假設有1個依變項和 k 個自變項且彼此存在關聯，依變項和 k 個自變項的Ｒ平方公式如下：

    \[ R^2 = r_{Y1}^2 + r_{Y(2 \cdot 1)}^2 + r_{Y(3 \cdot 12)}^2 + r_{Y(4 \cdot 123)}^2 + r_{Y(k \cdot 123...k-1)}^2 \]

上面的Ｒ平方公式裡，r_{Y1}^2指 Y 和 X1 的相關係數平方，r_{Y(2 \cdot 1)}^2指移除 X1 作用的 X2 和 Y 的半淨相關係數平方，r_{Y(3 \cdot 12)}^2指移除 X1、X2 作用的 X3 和 Y 的半淨相關係數平方，其餘都可做類似的解釋。

由於半淨相關係數平方可以用來說明1個自變項對依變項的獨特貢獻，所以在牽涉1個依變項和數個自變項的多元線性迴歸裡特別地有用，而這一點和淨相關的用途就有明顯的不同。

淨相關、半淨相關的計算

上面在淨相關和半淨相關的意義裡有簡單地提到計算方法，不過因為是分別說明，所以沒有把兩者的計算方法結合在一起，這裡利用下面的 Venn Diagram 來介紹更完整的計算方法。

Venn diagram of partial and semipartial correlations

在上面的 Venn Diagram 裡，依變項為 Y、第1個自變項為 X1、第2個自變項為 X2，每個圓圈代表1個變項且變異數為1。這3個變項間的相關係數平方（r^2）、複相關係數平方（R^2）、半淨相關係數平方和淨相關係數平方在 Venn Diagram 裡占有的位置和計算方法分別說明如下。

① 相關係數平方（決定係數）

相關係數是兩兩變項的關聯程度和方向的量化數值，若變項的測量尺度為等距或比率尺度，相關係數即指皮爾森積差相關係數。相關係數的平方稱為決定係數，帶有「一個變項能說明另一個變項裡多少變異」的解釋方法。上面 Venn Diagram 裡兩兩變項的相關係數平方的符號和占有的位置分別如下：

  • 依變項 Y 和自變項 X1：r_{Y1}^2 = B + C
  • 依變項 Y 和自變項 X2：r_{Y2}^2 = C + D
  • 自變項 X1 和自變項 X2：r_{12}^2 = C + E

若變項可區分為依變項和自變項，則相關係數平方即帶有「自變項可以說明多少依變項變異」的解釋，例如自變項 X1 可以解釋依變項 Y 裡Ｂ+Ｃ的變異，而自變項 X2 可以解釋依變項 Y 裡 Ｃ+Ｄ的變異。由於皮爾森積差相關係數的計算已在多篇文章裡提到，所以這裡不再說明，若您想瞭解計算方法，請參考如何計算皮爾森積差相關係數。

② 複相關係數平方（Ｒ平方）

複相關係數是多個變項間關聯程度的量化數值，通常出現在多元線性迴歸裡，用來評估數個自變項整體對依變項的預測是否有幫助。複相關係數平方能夠做出有意義的解釋，指出自變項整體可以說明依變項多少的變異，符號通常用大寫的Ｒ平方來表示。上面 Venn Diagram 裡 Y、X1、X2 的複相關係數平方公式為：

    \[ R_{Y12}^2 = B+C+D = \frac {r_{Y1}^2+r_{Y2}^2-2(r_{Y1})(r_{Y2})(r_{12})}{1-r_{12}^2} \]

依變項 Y 和自變項 X1 和 X2 的複相關係數平方所占的位置為圖中的Ｂ+Ｃ+Ｄ，也就是3個變項共同關聯的部分。換句話說，自變項 X1 和 X2 可以解釋依變項 Y 裡 Ｂ+Ｃ+Ｄ的變異。關於複相關係數的詳細介紹，請參考複相關係數的意義和假設檢定。

③ 半淨相關係數平方

半淨相關係數平方指各個自變項對依變項的獨特貢獻部分，因此上面的 Venn Diagram 裡每個自變項和依變項的半淨相關係數平方的占有位置和計算方法如下：

  • 依變項 Y 和自變項 X1，控制自變項 X2：

        \[ r_{Y(1 \cdot 2)}^2 = B = (B+C+D)-(C+D) = R_{Y12}^2-r_{Y2}^2 \]

  • 依變項 Y 和自變項 X2，控制自變項 X1：

        \[ r_{Y(2 \cdot 1)}^2 = D = (B+C+D)-(B+C) = R_{Y12}^2-r_{Y1}^2 \]

從上面的計算方法可以發現，每個自變項和依變項的半淨相關係數平方為全部變項的複相關係數平方減去被移除作用的自變項和依變項的相關係數平方。由此可見，複相關係數平方為第1個自變項和依變項的相關係數平方加上另一個自變項對依變項的獨特貢獻。

④ 淨相關係數平方

淨相關係數為2個變項間的純淨關係，依變項和第1個自變項同時排除了另一個變項的作用，所以淨相關係數平方是依變項和第1個自變項的關聯部分與依變項移除另一個自變項作用的部分之比例。上面的 Venn Diagram 裡每個自變項和依變項的淨相關係數平方的占有位置和計算方法為：

  • 依變項 Y 和自變項 X1，控制自變項 X2：

        \[ r_{Y1 \cdot 2}^2 = \frac {B}{A+B} = \frac {B}{(A+B+C+D)-(C+D)} = \frac {r_{Y(1 \cdot 2)}^2}{1-r_{Y2}^2} \]

  • 依變項 Y 和自變項 X2，控制自變項 X1：

        \[ r_{Y2 \cdot 1}^2 = \frac {D}{A+D} = \frac {D}{(A+B+C+D)-(A+B)} = \frac {r_{Y(2 \cdot 1)}^2}{1-r_{Y1}^2} \]

從上面的公式可以看到，每個自變項和依變項的淨相關係數平方為各個自變項和依變項的半淨相關係數平方除以移除其餘自變項作用的依變項變異。因此，淨相關係數平方可以用「自變項能夠解釋多少無法被其他自變項解釋的依變項變異」的方式來說明變項之間的關係。

最後，除非依變項和其餘的自變項不存在關聯，否則淨相關係數平方的分母勢必小於1，而半淨相關係數平方除以小於1的數值一定會大於半淨相關係數平方本身。換句話說，淨相關係數一定會大於半淨相關係數，只有在依變項和其餘的自變項不存在關聯的情況下，淨相關係數才會等於半淨相關係數。

淨相關、半淨相關的例子

這裡使用〈複相關係數的意義和假設檢定〉裡的例子，假設有一位大學的法學緒論教師認為學生的邏輯能力、智力和學期成績有關聯，她從修課的學生裡隨機抽取出10位，並給予他們邏輯能力和智力的標準化測驗。若學期成績（SCORE）為依變項、邏輯能力（LOGIC）為第1個自變項且智力（IQ）為第2個自變項，這10位學生的資料如下表。

example of partial and semipartial correlation

利用上表的資料可以計算出兩兩變項的相關係數，為了之後計算結果的準確度，把所有無法整除的數值都四捨五入到小數點後第4位，這3個變項的相關矩陣如下表。另外，從〈複相關係數的意義和假設檢定〉知道這3個變項的複相關係數（R_{Y12}）為0.7689。試問：

  1. 邏輯能力和學期成績、智力和學期成績的半淨相關係數平方是多少？
  2. 邏輯能力和學期成績、智力和學期成績的淨相關係數平方是多少？
correlation matrix of partial and semipartial correlation example
① 半淨相關係數平方

首先，利用相關矩陣裡的數值和複相關係數平方計算邏輯能力、智力和學期成績的半淨相關係數平方。在這個例子裡，依變項 Y 為學期成績、自變項 X1 為邏輯能力、自變項 X2 為智力，各個自變項和依變項的半淨相關係數平方的計算過程如下：

  • 移除智力後學期成績和邏輯能力的半淨相關係數平方：

        \[ r_{Y(1 \cdot 2)}^2 = R_{Y12}^2-r_{Y2}^2 = (0.7689)^2 - (0.5868)^2 \approx 0.2469 \]

  • 移除邏輯能力後學期成績和智力的半淨相關係數平方：

        \[ r_{Y(2 \cdot 1)}^2 = R_{Y12}^2-r_{Y1}^2 = (0.7689)^2 - (0.6862)^2 \approx 0.1203 \]

若要求得半淨相關係數，只要把半淨相關係數平方開根號即可。兩者的半淨相關係數分別為：

  • 移除智力後學期成績和邏輯能力的半淨相關係數：

        \[ r_{Y(1 \cdot 2)} = \sqrt {(0.7689)^2 - (0.5868)^2} \approx 0.4969 \]

  • 移除邏輯能力後學期成績和智力的半淨相關係數：

        \[ r_{Y(2 \cdot 1)} = \sqrt {(0.7689)^2 - (0.6862)^2} \approx 0.3469 \]

解釋研究結果時，半淨相關係數平方比半淨相關係數更能做有意義的解釋，所以這裡用半淨相關係數平方來做解釋。分析結果指出，控制了智力的影響後，學生邏輯能力可以單獨地解釋法學緒論學期成績裡24.69%的變異，而控制了邏輯能力的作用後，學生智力可以單獨地解釋法學緒論成績裡12.03%的變異。

② 淨相關係數平方

計算淨相關係數平方須使用到半淨相關係數平方和各個自變項與依變項的相關係數，各個自變項和依變項的淨相關係數平方的計算過程如下：

  • 移除智力後學期成績和邏輯能力的淨相關係數平方：

        \[ r_{Y1 \cdot 2}^2 = \frac {r_{Y(1 \cdot 2)}^2}{1-r_{Y2}^2} = \frac {0.2469}{1-(0.5868)^2} \approx 0.3766 \]

  • 移除邏輯能力後學期成績和智力的淨相關係數平方：

        \[ r_{Y2 \cdot 1}^2 = \frac {r_{Y(2 \cdot 1)}^2}{1-r_{Y1}^2} = \frac {0.1203}{1-(0.6862)^2} \approx 0.2274 \]

若要求得淨相關係數，把上面的淨相關係數平方開根號就好。兩者的淨相關係數分別為：

  • 移除智力後學期成績和邏輯能力的淨相關係數：

        \[ r_{Y1 \cdot 2} = \sqrt {\frac {0.2469}{1-(0.5868)^2}} \approx 0.6136 \]

  • 移除邏輯能力後學期成績和智力的淨相關係數：

        \[ r_{Y2 \cdot 1} = \sqrt {\frac {0.1203}{1-(0.6862)^2}} \approx 0.4768 \]

這裡同樣使用淨相關係數平方來做解釋，分析結果顯示，在無法被智力預測的學期成績變異裡，邏輯能力可以解釋37.66%法學緒論學期成績的變異。此外，在無法被邏輯能力預測的學期成績變異裡，智力可以解釋22.74%法學緒論學期成績的變異。

運用SPSS取得淨相關、半淨相關係數

先把上面例子裡10位學生的資料輸入至SPSS資料編輯器裡，輸入完成後如下圖。關於SPSS資料輸入的方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

spss data of partial and semipartial correlation example

運用SPSS取得淨相關係數可以透過「相關」或「迴歸」分析的方法，但取得半淨相關係數只能透過「迴歸」分析，下面分別示範這2種操作方法。

① 相關分析的方法

將上面例子裡10位學生的資料輸入完成後，點選功能表的分析 » 相關 » 局部，帶出「局部相關性」視窗。

spss menu of partial correlation

這裡先探討移除智力後的學期成績和邏輯能力的淨相關，然後再探討移除邏輯能力後學期成績和智力的淨相關。在「局部相關性」視窗裡，把學期成績（SCORE）和邏輯能力（LOGIC）移到變數(V)方框裡，再把智力（IQ）移到為此項目進行控制(C)方框裡。

若想要檢視兩兩變項的相關係數，可以點選視窗最右側的選項(O)，在「局部相關性：選項」小視窗的統計量裡，勾選零階相關性（zero-order correlations），輸出結果裡就會出現所有變項的相關矩陣。勾選完成後，點選小視窗下方的繼續(C)，回到上一個視窗後再按下確定。

spss dialog box of partial correlation

完成上述的步驟後，SPSS會輸入如下的相關表格。表格的上半部為所有變項的相關矩陣，下半部則為智力被移除後，學期成績和邏輯能力的淨相關係數。從淨相關係數表格可以看到，當智力的作用被移除或控制後，法學緒論學期成績和邏輯能力的淨相關係數為0.614，這結果和上面紙筆計算的結果是相同的。

spss output of partial correlation

若改探討邏輯能力的作用被移除後學期成績和智力的淨相關係數，在「局部相關性」視窗裡，把智力（IQ）移到變數(V)方框裡，邏輯能力（LOGIC）移到為此項目進行控制(C)方框裡，最後點選視窗下方的確定即可。

independent variables change in the spss dialog box of partial correlation

SPSS輸出的淨相關係數表格顯示，當邏輯能力的作用被移除或控制後，法學緒論學期成績和智力的淨相關係數為0.477，這結果也和上面紙筆計算的結果相同。

spss output of partial correlation using different independent variables

透過「相關」分析的功能，只能取得淨相關係數而無法取得半淨相關係數。若要利用SPSS取得半淨相關係數，須使用「迴歸」分析的功能，下面示範操作方法。

② 迴歸分析的方法

將上面例子裡10位學生的資料輸入完成後，點選功能表的分析 » 迴歸 » 線性，帶出「線性迴歸」視窗。

spss menu of linear regression to obtain partial and semipartial correlations

在「線性迴歸」視窗裡，將學期成績（SCORE）移到應變數(D)的長框裡，邏輯能力（LOGIC）和智力（IQ）移到自變數(I)長框裡，再點選視窗最右側的統計資料(S)。在「線性迴歸：統計量」小視窗裡，勾選部分與局部相關性(P)的選項，完成後按下小視窗下方的繼續(C)。回到「線性迴歸」視窗後，再按下最下方的確定。

spss dialog box of linear regression to obtain partial and semipartial correlations

經過上述的步驟後，SPSS會輸出多元線性迴歸分析的結果，淨相關和半淨相關係數會出現在最後的「係數」表格的最右邊。從下表可以看出，智力的作用被移除後邏輯能力和學期成績的淨相關係數為0.614，而邏輯能力的作用被移除後智力和學期成績的淨相關係數為0.477，這些數值和上面利用「相關」分析所得到的淨相關係數是一樣的。

除了淨相關之外，透過「迴歸」分析的方法也會輸出半淨相關係數。從下表可以看到，當控制了智力後，邏輯能力和學期成績的半淨相關係數為0.497。此外，當控制了邏輯能力後，智力和學期成績的半淨相關係數為0.347。這些數值和上面紙筆計算的結果是相同的，而且淨相關係數的數值確實大於半淨相關係數的數值。

spss output of partial and semipartial correlations in the table of regression coefficients

透過「迴歸」分析的方法，可以很簡單地取得淨相關和半淨相關係數。不論是淨相關或半淨相關，平方後的係數會比較容易解釋，也讓人容易理解，所以可把上面SPSS的輸出結果平方後再進行變項間關係的說明。

以上為本篇文章對淨相關和半淨相關的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了淨相關和半淨相關的意義與計算方法，也學會了利用SPSS取得這2種相關係數的方法。若您喜歡本篇文章，請將本網站加入書籤，並持續回訪本網站喔！另外，也歡迎您追蹤本網站的 Facebook 和／或 X（Twitter）專頁喲！

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