Levene 檢定：檢驗樣本間變異數是否相等的方法

當我們想執行獨立樣本ｔ檢定來比較2個樣本的平均數是否有顯著不同的時候，由於這個統計檢定為母數檢定，所以資料須滿足常態分配和變異數同質性的假設。其中，第2個假設的「變異數同質性」是指2個樣本來自的母群體具有相同的變異，若變異不相等（變異數異質性），則自由度和檢定統計量有不同的計算方法。

既然要使用獨立樣本ｔ檢定，代表母群體的變異數是未知的狀態，所以須用樣本變異數來估計母群體變異數。為了檢驗2個樣本的變異數是否存在顯著的不同，通常會使用 Levene 檢定，且大多數的統計分析軟體也會輸出這個檢定的結果。

下面內容將介紹 Levene 檢定的使用時機和計算方法，並舉一個例子說明，最後示範利用 SPSS 取得這個檢定結果的操作方法。由於本篇文章為獨立樣本ｔ檢定的延伸內容，若您不熟悉這個統計檢定的概念，建議先閱讀獨立樣本ｔ檢定的假設檢定，將有助於文章內容的理解喔！

Levene 檢定的使用時機和計算
Levene 檢定的假設檢定之例子
運用 SPSS 取得 Levene 檢定的結果
- 獨立樣本ｔ檢定的方法
- 單因子變異數分析的方法

Levene 檢定的使用時機和計算

獨立樣本ｔ檢定（independent samples t-test）適用在2個獨立群組或樣本平均數的比較上，是社會或行為科學研究領域很常用到的一種統計檢定。因為獨立樣本ｔ檢定屬於母數檢定，所以樣本來自的母群體須滿足特定的條件，檢定的結果才具有可信度。

具體來說，獨立樣本ｔ檢定的執行要求樣本資料來自的母群體須呈現常態分配且母群體帶有相同的變異。其中，母群體帶有相同的變異即是所謂的「變異數同質性」（homogeneity of variance）假設，也就是 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 。由於獨立樣本ｔ檢定是用樣本變異數估計母群體變異數，所以須用樣本變異數 $s_1^2$ 和 $s_2^2$ 來檢驗變異數同質性的假設。

雖然變異數同質性的檢驗方法有好幾種，但最常被使用且為大多數統計分析軟體的預設檢定方法為 Levene 檢定（Levene′s test）。Levene（1960）建議把一個數值減去這個數值所在群組的平均數後變成離差，再取離差的絕對值或將離差平方，最後利用這些離差絕對值或離差平方執行獨立樣本ｔ檢定。

依據 Levene 的建議，若讓 $X_{ij}$ 代表第 $j$ 組的第 $i$ 個數值， $\overline X_j$ 代表第 $j$ 組的平均數， $d_{ij}$ 代表第 $j$ 組的第 $i$ 個離差數值，Levene 檢定的每個數值可轉變成下面2種離差數值形式的任何一種：

離差絕對值： $d_{ij} = \left | X_{ij} - \overline X_j \right |$
離差平方： $d_{ij} = ( X_{ij} - \overline X_j )^2$

利用原始數值轉變後的離差數值進行獨立樣本ｔ檢定後，如果檢定結果未達到統計顯著，代表2個樣本的變異數沒有不同，也就是資料滿足變異數同質性的假設。反過來說，如果檢定結果達到統計上顯著，代表2個樣本的變異數存在差異，也就是資料沒有滿足變異數同質性的假設。

除了獨立樣本ｔ檢定之外，用來探討超過2個獨立群組或樣本平均數比較的單因子變異數分析同樣地要求資料須滿足變異數同質性的假設，也就是 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \cdots = \sigma_k^2$ 。若要檢驗變異數同質性的假設，同樣可以使用 Levene 檢定，唯一不同之處在於各個數值轉變成離差絕對值或離差平方後，須執行單因子變異數分析而不是獨立樣本ｔ檢定。

因此，Levene 檢定是檢驗變異數同質性假設的一種統計檢定方法，運算時先將原始資料的各個數值轉變成離差絕對值或離差平方後，再進行獨立樣本ｔ檢定或單因子變異數分析，最後藉由檢定結果來評估獨立樣本間的變異數是否相等。

Levene 檢定的假設檢定之例子

這裡使用〈獨立樣本ｔ檢定的假設檢定〉裡的例子，假設一位工廠老闆想探討工作時安排一小段休息時間是否會影響員工的工作失誤次數，他將20位員工分成2組，第1組（nobreak）的工作模式和原本相同，工作過程中沒有任何休息，第2組（break）在下午2:45到3:00之間休息。老闆紀錄了這20位員工在下午3:00到5:30之間的工作失誤次數，如下表所示。老闆決定先利用 Levene 檢定檢驗變異數同質性假設，再進行獨立樣本ｔ檢定，若顯著水準為0.05、雙尾檢定，試問 Levene 檢定的結果為何？

因為工廠老闆想檢驗2個群組的變異數是否相同，屬於沒有方向性的研究假設，所以虛無假設和對立假設分別如下：

虛無假設（ $H_0$ ）：兩個群組的變異數相同，也就是這2個群組是來自於母群體 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 的隨機樣本。
對立假設（ $H_1$ ）：兩個群組的變異數不相同，也就是這2個群組是來自於母群體 $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ 的隨機樣本。

接下來，把2個群組裡的各個數值轉變成離差，這裡選擇絕對值的方式，再利用離差絕對值計算出獨立樣本ｔ檢定的檢定統計量。若讓 $\overline d_1$ 、 $\overline d_2$ 分別代表第1組和第2組的離差絕對值平均數， $SS_1$ 、 $SS_2$ 分別代表第1組和第2組的離差絕對值的離差平方和（簡稱平方和）， $n_1$ 、 $n_2$ 分別代表第1組和第2組的人數，ｔ檢定統計量的公式如下：

(1) $\begin{equation*}t = \frac {\overline d_1-\overline d_2}{\sqrt {\left ( \dfrac {SS_1+SS_2}{n_1+n_2-2} \right ) \left ( \dfrac {1}{n_1}+\dfrac {1}{n_2} \right )}}\end{equation*}$

先在如下的表格裡計算出每一個數值的離差絕對值（下表裡的 $d_1$ 和 $d_2$ ），再計算出套用公式(1)所需要的資訊。

上表中的符號 $\sum$ 指數值的總和、 $n$ 指樣本個數、 $\overline X$ 或 $\overline d$ 指原始數值的平均數或離差絕對值的平均數。利用上表的資訊來計算公式(1)裡的平方和 $SS_1$ 和 $SS_2$ ，計算過程如下：

$\begin{align*}SS_1 &= \sum (d_1-\overline d_1)^2 = \sum d_1^2-\frac {(\sum d_1)^2}{n_1} = 20.1-\frac {(11.6)^2}{10} = 6.644 \\[5pt]SS_2 &= \sum (d_2-\overline d_2)^2 = \sum d_2^2-\frac {(\sum d_2)^2}{n_2} = 12.1-\frac {9^2}{10} = 4\end{align*}$

計算結果得到 $SS_1$ 為6.644而 $SS_2$ 為4，關於總和運算的方法，請參考社會統計常用的基本數學符號和運算。接著，把這2個平方和、2組的離差絕對值平均數和樣本個數帶入上面的公式(1)。計算過程中將無法整除的數值四捨五入到小數點後第5位，最後的結果則四捨五入到小數點後第3位。

$\begin{align*}t &= \frac {\overline d_1-\overline d_2}{\sqrt {\left ( \dfrac {SS_1+SS_2}{n_1+n_2-2} \right ) \left ( \dfrac {1}{n_1}+\dfrac {1}{n_2} \right )}} \\[5pt]&= \frac {1.16-0.90}{\sqrt {\left ( \dfrac {6.644+4}{10+10-2} \right ) \left ( \dfrac {1}{10}+\dfrac {1}{10} \right )}} \\[5pt]&= \frac {0.26}{\sqrt {(0.59133)(0.2)}} \\[5pt]&\approx 0.756\end{align*}$

計算結果顯示ｔ檢定統計量為0.756，接著查詢ｔ分配表，當顯著水準（α 水準）為0.05、自由度為18（ $n_1+n_2-2=10+10-2=18$ ）、雙尾檢定時，ｔ臨界值為 $\pm2.101$ 。

t critical value with alpha 0.05 and df 18

最後，運用檢定統計量和臨界值比較的決策規則，因為 $|0.756| < |\pm 2.101|$ ，所以保留虛無假設。獨立樣本ｔ檢定的分析結果指出2個群組的變異數相同，即資料滿足變異數同質性的假設。

運用 SPSS 取得 Levene 檢定的結果

將上面例子的資料輸入至 SPSS 資料編輯器裡，如下圖。這裡一共有3個變項，ID 指員工的編碼，GROUP 指員工的組別（1為沒有休息組、2為有休息組），MISTAKE 指工作失誤的次數。若您不清楚 SPSS 資料輸入方法，請參考 SPSS 操作環境和資料輸入。

若執行獨立樣本ｔ檢定，Levene 檢定為預設的輸出結果。若執行單因子變異數分析，則須另外進行變異同質性檢定選項的勾選，才會輸出 Levene 檢定的結果。由於2個樣本平均數的比較也可透過單因子變異數分析來進行假設檢定，所以下面示範這2種不同的操作方法。

獨立樣本ｔ檢定的方法

若執行獨立樣本ｔ檢定，在已經輸入資料的 SPSS 資料編輯器頁面，點選功能表的分析 » 比較平均數 » 獨立樣本Ｔ檢定，帶出「獨立樣本Ｔ檢定」視窗。

在「獨立樣本Ｔ檢定」視窗裡，將左邊方框裡的 MISTAKE 移到檢定變數(T)裡而 GROUP 移到分組變數(G)裡。接著，點選定義群組(D)，帶出「定義群組」小視窗，預設值為使用指定的值(U)，在群組1和群組2長框裡分別輸入2個群組在 SPSS 裡的編碼（這裡為變項 GROUP 的2個值），完成後按下小視窗下方的繼續(C)。回到「獨立樣本Ｔ檢定」的視窗後，再按下視窗下方的確定。

spss dialog box of independent samples t-test

經過上述的步驟後，SPSS 會輸出如下表的獨立樣本ｔ檢定結果。在「獨立樣本檢定」表格裡，獨立樣本ｔ檢定的顯著性檢定結果前會看到 Levene 檢定的結果（下圖紅框的部分）。從下圖可以看到，Levene 檢定結果的Ｆ值為0.572， $p$ 值為0.459。

SPSS 輸出的 Levene 檢定結果為Ｆ值，不是上面紙筆計算的ｔ值，不過ｔ值的平方等於Ｆ值，所以把上面紙筆計算得到的ｔ值平方， $(0.756)^2 = 0.571536$ ，四捨五入到小數點後第3位的數值確實等於Ｆ值。因此，上面紙筆計算的結果和 SPSS 輸出結果是相同的。

spss output of Levene's test using the independent samples t-test

SPSS 會直接輸出得到檢定結果的機率而非臨界值，所以可採用 $p$ 值和顯著水準（α 值）比較的決策規則。因為 $0.459 > 0.05$ ，所以保留虛無假設。研究結果指出2個群組的變異數是相同的，也就是資料滿足變異數同質性的假設。

單因子變異數分析的方法

兩個群組或樣本的變異數同質性檢驗也可透過單因子變異數分析來達成，在已經輸入資料的 SPSS 資料編輯器頁面，點選功能表的分析 » 比較平均數 » 單因數變異數分析，帶出「單因子變異數分析」視窗。

spss menu of one-way analysis of variance

在「單因子變異數分析」視窗裡，將左邊方框裡的 MISTAKE 移到依變數清單(E)裡而 GROUP 移到因子(F)裡。接著，點選視窗右側的選項(O)，在「單因子變異數分析：選項」小視窗裡，勾選統計量裡的變異同質性檢定(H)，完成後點選小視窗下方的繼續(C)。回到「單因子變異數分析」視窗後，再按下視窗最下方的確定。

spss dialog box of one-way analysis of variance

經過上述的步驟，SPSS 會輸出如下的「變異數的同質性測試」表格，即為 Levene 檢定的結果。因為我們是透過平均數計算出來的離差來進行 Levene 檢定，所以看第1列的檢定結果。從下表可以看出，Ｆ值為0.572且獲得這個結果的機率為0.459，這些結果和上面利用獨立樣本ｔ檢定所得到的結果是一樣的。

spss output of Levene's test using one-way analysis of variance

上面的表格裡還可以看到根據中位數（median）和截尾平均數（trimmed mean）所計算出來的變異數同質性檢定結果，這2種方法是由 Brown & Forsythe（1974）提出，適用在非常態分配的資料上且同時能維持良好的統計檢定力。雖然大多數的統計分析軟體仍以 Levene 檢定為主，但在資料沒有呈現常態分配的時候，其他的變異數同質性檢定結果仍具有相當的參考價值。

若您沒有專門的統計分析軟體如 SPSS 但想取得 Levene 檢定的結果時，可以使用微軟的 Excel。雖然利用 Excel 進行 Levene 檢定的操作過程涉及一些數學計算，較圖形化操作介面的統計分析軟體麻煩一點，但可以得到相同的檢定結果。若您想瞭解操作方法，可以參考如何使用 Excel 執行 Levene 檢定。

以上為本篇文章對 Levene 檢定的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了 Levene 檢定的使用時機和計算方法，也學會了運用 SPSS 取得 Levene 檢定結果的方法。若您喜歡本篇文章，請將本網站加入書籤，並隨時回訪本網站喔！另外，也歡迎您追蹤本網站的 Facebook 和／或 X（Twitter）專頁喲！

如果您覺得本篇文章對您有幫助，歡迎買杯珍奶給 Dr. Fish！小小珍奶，大大鼓勵，您的支持將給 Dr. Fish 更多撰寫優質文章的動力喔！

參考資料

Brown, M. B., & Forsythe, A. B. (1974). Robust Tests for the Equality of Variances. Journal of the American Statistical Association, 69(346), 364–367. https://doi.org/10.1080/01621459.1974.10482955

Levene, H. (1960). Robust tests for the equality of variance. In I. Olkin (Ed.), Contributions to probability and statistics. Palo Alto, CA: Stanford University Press.