單因子變異數分析的效果量

獨立群組的單因子變異數分析（以下直接稱「單因子變異數分析」）可用來同時檢驗3個或3個以上的群組平均數是否有所不同，當分析結果達到統計上顯著（significant）的時候，代表群組平均數之間存在著差異。雖然顯著的結果指出自變項具有效果，但無法告訴我們自變項的效果有多大，此時就須計算效果量（magnitude of effect 或 size of effect）。

回顧皮爾森積差相關係數的討論裡，若要測量一個變項中有多少的變異能夠被另一個變項說明或解釋，可以將皮爾森積差相關係數平方，變成決定係數（coefficient of determination）後再進行解釋。換句話說，決定係數是測量兩個變項間關聯強度的一個數值。

單因子變異數分析的效果量即是類似於決定係數的概念，用來測量依變項裡有多少的變異能夠被自變項整體所解釋，也就是「效果大小」的測量。單因子變異數分析的效果量測量有數種方法，而最常被使用的是omega squared（ $\omega^2$ ）和eta squared（ $\eta^2$ ）這兩種，所以本篇文章將介紹這兩種效果量的計算方法和解釋。

Omega Squared
Eta Squared
效果量的評估標準
運用SPSS取得Eta Squared
運用Excel計算Omega Squared和Eta Squared

Omega Squared

第一個測量單因子變異數分析效果量的方法為omega squared（ $\omega^2$ ），由於 $\omega^2$ 能提供相對不偏誤的效果量估計值，所以這個方法在數個測量方法裡被視為相對較佳的一種。讓 $SS_b$ 為組間平方和、 $SS_t$ 為總差值平方和、 $MS_w$ 為組內變異數估計值、 $k$ 為群組的組數， $\omega^2$ 的公式如下：

(1) $\begin{equation*}\omega^2=\frac {SS_b-(k-1)MS_w}{SS_t+MS_w}\end{equation*}$

這裡使用單因子變異數分析的假設檢定裡不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子，計算這個研究的效果量 $\omega^2$ 。這個研究的單因子變異數分析的結果如下表：

從上表可以得到，組間平方和 $SS_b$ 為26.133、總差值平方和 $SS_t$ 為48.933、組內變異數估計值 $MS_w$ 為1.9、群組的組數 $k$ 為3，將這些數值帶入上面的公式(1)裡，計算過程如下：

$\begin{align*}\omega^2 &= \frac {SS_b-(k-1)MS_w}{SS_t+MS_w} \\&= \frac {26.133-(3-1)1.9}{48.933+1.9} \\& \approx 0.439\end{align*}$

計算結果得到 $\omega^2$ 為0.439，這個數值指出不同的治療方法可以解釋輕度憂鬱症治療效果裡0.439或43.9%的變異。

Eta Squared

另一個很常用來測量單因子變異數分析效果量的方法為eta squared（ $\eta^2$ ），這個方法和 $\omega^2$ 一樣，可用來說明依變項裡有多少的變異能夠被自變項整體所解釋，但卻是一個相對偏誤的效果量估計值。

雖然 $\eta^2$ 是一個較偏誤的效果量估計值，但因為它的概念和計算相對地簡單，所以存在的時間很久且至今仍很常被使用。簡單來說，Eta squared（ $\eta^2$ ）為組間平方和與總差值平方和的比率，公式如下：

(2) $\begin{equation*}\eta^2 = \frac {SS_b}{SS_t}\end{equation*}$

同樣使用上面不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子，組間平方和 $SS_b$ 為26.133、總差值平方和 $SS_t$ 為48.933，將這些數值帶入上面的公式(2)裡，計算過程如下：

$\eta^2 = \frac {SS_b}{SS_t} = \frac {26.133}{48.933} \approx 0.534$

計算結果得到 $\eta^2$ 為0.534，依據這個數值，不同的治療方法可以解釋輕度憂鬱症治療效果裡0.534或53.4%的變異。從計算結果可看出 $\eta^2$ 的數值明顯地大於 $\omega^2$ 的數值，這也反映出 $\eta^2$ 是個較為偏誤的效果量估計值。

從另一個角度來看，Howell（2009）指出 $\eta^2$ 可被視為錯誤減少的百分比（percent reduction in error），簡稱為PRE。以不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子來看，在沒有考量不同治療方法的情況下，與輕度憂鬱症治療效果相關的錯誤為 $SS_t$ ，也就是15位參與者的總變異；在知道了各個參與者所屬的治療方法組別後，預測輕度憂鬱症治療效果的錯誤變成 $SS_w$ ，也就是組內群組的平均變異。換句話說，錯誤減少了 $SS_t-SS_w$ 。

再因為 $SS_t-SS_w=SS_b$ ，所以 $SS_b$ 除以 $SS_t$ 就可被視為考量了自變項後，預測依變項的錯誤所減少之百分比。因此，上面 $\eta^2$ 的結果還可被解釋為，當考量了不同的治療方法後，預測輕度憂鬱症治療效果的錯誤減少了53.4%。

以上的兩種效果量， $\omega^2$ 和 $\eta^2$ ，都是從變異量測量的角度來計算，帶有「自變項能夠解釋依變項裡多少變異」的說明方法，很容易理解。另外還有一種效果量的測量方法是從群組平均數和總平均數差值的角度來計算，稱為Cohen´s f，通常用在統計檢定力的計算上，詳細的介紹請參考單因子變異數分析的統計檢定力。

效果量的評估標準

透過上面的公式(1)或(2)，計算得到 $\omega^2$ 或 $\eta^2$ 後，雖然可以使用「自變項能夠解釋或說明依變項裡多少的變異」的解釋方法，但這個能被解釋的量到底是大還是小呢？

Cohen（1988）提供了一套評估的標準，當效果量介於0.01和0.05之間，為小效果量，介於0.06和0.13之間為中效果量，等於或大於0.14則屬於大效果量（參考下表）。

criteria for eta squared and omega squared by Cohen

利用Cohen（1988）建議的標準來評估不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的效果量，不論是 $\omega^2$ 的0.439或 $\eta^2$ 的0.534都屬於大效果量。考量這個研究的數值是捏造的，達到大的效果量並不讓人感到意外。

雖然在使用上有一套事先訂定的參考指標很方便，但不同的研究領域或研究主題往往存在著不同的評估標準，若硬要把一套既定的標準適用在所有的研究領域便顯得不近情理。實務上，應該依據不同的研究領域發展不同的評估標準，才能對效果量做更合適的解釋。

運用SPSS取得Eta Squared

運用SPSS只可取得 $\eta^2$ ，但無法取得 $\omega^2$ ，而且 $\eta^2$ 選項也不在功能表的分析 » 比較平均數 » 單因數變異數分析的執行視窗裡，須透過另一個功能表選單來取得，以下示範 $\eta^2$ 的取得方法。

開啟已輸入不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的SPSS資料檔，或將單因子變異數分析的假設檢定裡研究範例的資料輸入至SPSS資料編輯器裡。輸入完成後，點選功能表的分析 » 比較平均數 » 平均數，帶出「平均值」視窗。

在「平均值」視窗裡，首先將變項SESSION移至應變數清單(D)長方框中、變項GROUP移至層1/1長方框中。接著，點選視窗右側的選項(O)，開啟「平均值：選項」視窗，在這視窗下方的第一層統計量長框裡，勾選變異數分析表格與 eta (η)的選項，完成後按下繼續(C)，回到「平均值」視窗後，再按下確定。

SPSS會輸出如下的「關聯的測量值」表格，裡面即有Eta Squared的數值。從下表可看出，不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的效果量 $\eta^2$ 為0.534，而這個數值和上面用紙筆計算所得到的結果是相同的。

若您覺得上述的操作過程太麻煩，也可以撰寫語法來取得 $\eta^2$ 。開啟SPSS的語法編輯器，輸入下圖中的語法，將SESSION換成您資料的依變項名稱、GROUP換成您資料的自變項名稱。語法撰寫完成後，點選語法編輯器功能表的執行 » 全部，SPSS即會輸出和上面的圖形介面操作過程完全相同的結果。關於SPSS語法編輯器的介紹，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

運用SPSS計算 $\eta^2$ 時，除了透過這裡介紹的分析 » 比較平均數 » 平均數的操作方法外，還可以透過分析 » 一般線性模型 » 單變異數的「單變量」視窗裡的選項(O)來取得，詳細的操作過程請參考單因子變異數分析的統計檢定力。

不過，運用SPSS無法取得 $\omega^2$ ，若您也不想用紙筆計算的話，則可使用Excel來計算。其實，SPSS輸出的表格可被複製成Excel工作表可讀取的檔案格式，再貼上至Excel工作表裡，即可利用表格中的數值進行運算，相當地方便，下面示範操作方法。

運用Excel計算Omega Squared和Eta Squared

上面SPSS的操作過程所輸出的表格裡有一個「ANOVA表格」，在這個表格上用滑鼠點一下後按右鍵，帶出右鍵選單，從選單裡點選複製為 » Excel工作表（BIFF）。若您的SPSS版本沒有這個選項，也可直接點選複製。

copying spss output of one-way ANOVA table

開啟一空白的Excel活頁簿，將剛才從SPSS複製的表格貼上至任一空白的Excel工作表裡，會出現如下的ANOVA表格。

one-way ANOVA table pasted into excel worksheet

若您想讓表格更簡單明瞭，可以依據您的喜好稍微調整表格的外觀。然後，在任兩個空白的儲存格裡，輸入omega squared和eta squared。在omega squared儲存格右方的儲存格裡，依據上面的公式(1)和各個數值所在的儲存格，輸入如下圖的公式。完成後，按下Enter，傳回數值0.439，即為 $\omega^2$ 的數值。

同樣地，在eta squared儲存格右方的儲存格裡，根據上面的公式(2)和各個數值所在的儲存格，輸入如下圖的公式。完成後，按下Enter，傳回數值0.534，此即為 $\eta^2$ 的數值。

由於這兩個效果量的計算公式並不複雜，您也可以直接使用紙筆計算來求得您需要的數值。但不論使用哪一種方法，都可以獲得相同的結果，您可選擇自己喜歡的方式喲。

以上為本篇文章對獨立群組的單因子變異數分析效果量測量方法的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了常用的單因子變異數分析效果量的測量方法、計算方式和解釋，也學會了利用SPSS和Excel取得這些效果量的操作方法。

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參考資料

Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2nd ed.). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Howell, D. C. (2009). Statistical methods for psychology (7th ed.). Belmont, CA: Wadsworth.