Dunnett檢定：單一控制組和其他群組的事後比較

Dunnett檢定（Dunnett´s test）是由統計學家Charles W. Dunnett（1955, 1964）所提出，為獨立群組單因子變異數分析的一種事後比較（post hoc comparisons）方法。因為Dunnett檢定屬於事後比較的一種方法，所以和其他的事後比較方法一樣，須在單因子變異數分析的Ｆ值達到統計顯著後才會使用。

Dunnett檢定適用在研究設計裡有控制組和實驗組的情況，且能在實驗錯誤率被控制在α時，進行單一控制組和各個實驗組的成對比較。與其他的事後比較方法相比，若研究目的在於控制組和其他群組的成對比較，Dunnett檢定的統計檢定力會比其他的事後比較方法來得高。

本篇文章為單因子變異數分析的延伸，建議您先閱讀單因子變異數分析的假設檢定和單因子變異數分析的事後比較，將有助於以下內容的銜接和理解。下面將先介紹Dunnett檢定的定義和計算，再舉例子說明計算過程，最後示範利用SPSS執行Dunnett檢定的操作方法。

Dunnett檢定的定義和計算
Dunnett檢定的範例操作
運用SPSS執行Dunnett檢定

Dunnett檢定的定義和計算

Dunnett檢定是獨立群組單因子變異數分析（以下直接稱「單因子變異數分析」）的事後比較方法之一，在單因子變異數分析的假設檢定結果為拒絕虛無假設的時候才會進一步執行。若研究設計裡包含數個實驗組和一個控制組，且研究人員想瞭解控制組和各個實驗組的成對比較結果，那麼Dunnett檢定會是個合適的事後比較方法。

不像Tukey HSD檢定會進行所有可能的成對樣本比較，Dunnett檢定只會拿一個控制組和其他的實驗群組進行比較。因此，若自變項包含 $k$ 個群組，則Dunnett檢定會在實驗錯誤率被控制在α的情況下（習慣上為0.05或0.01），進行 $k-1$ 組的成對比較。

Dunnett檢定的檢定統計量其實就是兩個樣本數目一致時獨立樣本ｔ檢定的ｔ值，只是將樣本變異數 $s^2$ 換成單因子變異數分析裡的組內變異數估計值 $MS_w$ 。若讓 $t_d$ 表示Dunnett檢定的檢定統計量，在各個群組的個數皆相同時， $t_d$ 的公式如下：

(1) $\begin{equation*}t_d = \frac {\overline X_c - \overline X_j}{\sqrt {\dfrac {2MS_w}{n}}}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\begin{CJK*}{UTF8}{bsmi}\begin{align*}\overline X_c &= \text {控制組的平均數} \\\overline X_j &= \text {實驗組的平均數} \\MS_w &= \text {組內變異數估計值} \\n &= \text {各個群組的個數}\end{align*}\end{CJK*}\end{equation*}$

如果各個群組的個數不相等，讓 $n_c$ 代表控制組的個數、 $n_j$ 代表實驗組的個數，Dunnett檢定的檢定統計量 $t_d$ 可改用下面的公式計算：

(2) $\begin{equation*}t_d = \frac {\overline X_c - \overline X_j}{\sqrt {MS_w \left ( \dfrac {1}{n_c} + \dfrac {1}{n_j} \right )}}\end{equation*}$

計算出 $t_d$ 後，須和 $t_d$ 臨界值相比較，才能評估兩個群組的平均數是否存在顯著的差異。依據事先設定的顯著水準（α水準）、群組的組數 $k$ 和組內自由度 $df_w$ ，查詢Dunnett檢定臨界值表（雙尾檢定），當 $t_d$ 檢定統計量絕對值大於臨界值絕對值時，即表示兩群組的平均數間存在顯著的差異。

下面使用單因子變異數分析的假設檢定裡不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子，示範利用Dunnett檢定進行事後比較的方法。

Dunnett檢定的範例操作

不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子裡，安慰劑控制的控制組和放鬆治療、談話治療兩個實驗組的平均數以及各個群組的個數如下表。此外，這個研究的組內自由度 $df_w$ 為12、組內變異數估計值 $MS_w$ 為1.9。

means of control and experimental groups

因為這個研究的自變項有3個群組，所以Dunnett檢定會有2組的成對比較，分別為安慰劑控制和放鬆治療的比較以及安慰劑控制和談話治療的比較。由於各個群組的個數相等，所以可使用上面的公式(1)來計算兩組成對比較的檢定統計量 $t_d$ ，計算過程如下：

$\begin{align*}\textbf {placebo vs. relax} \Rightarrow t_d &= \frac {\overline X_c - \overline X_j}{\sqrt {\dfrac {2MS_w}{n}}} = \frac {9.2-8.0}{\sqrt {\dfrac {2(1.9)}{5}}} \approx 1.376 \\[5pt]\textbf {placebo vs. talk} \Rightarrow t_d &= \frac {\overline X_c - \overline X_j}{\sqrt {\dfrac {2MS_w}{n}}} = \frac {9.2-6.0}{\sqrt {\dfrac {2(1.9)}{5}}} \approx 3.671\end{align*}$

接著，查詢雙尾檢定的Dunnett檢定臨界值表。當α水準為0.05、所有群組的組數 $k$ 為3、組內自由度 $df_w$ 為12時，Dunnett檢定的臨界值為 $\pm 2.502$ （因為是雙尾檢定，所以會有正、負兩個數值）。

critical value of Dunnett's test when k equals 3 and df equals 12

比較Dunnett檢定的檢定統計量絕對值和臨界值絕對值，只有placebo和talk這組的檢定統計量絕對值大於臨界值絕對值， $\left | 3.671 \right | > \left | \pm 2.502 \right |$ 。這結果指出，談話治療和安慰劑控制對於輕度憂鬱症的治療效果存在顯著的差異。

運用SPSS執行Dunnett檢定

將不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果例子的資料輸入至SPSS資料編輯器裡，輸入完成後，點選功能表的分析 » 比較平均數 » 單因數變異數分析，帶出「單因子變異數分析」視窗。關於SPSS的資料輸入方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

在「單因子變異數分析」視窗裡，把SESSION移至依變數清單(E)、GROUP移至因子(F)，完成後按下視窗右側的事後(H)，會出現「單因子變異數分析：事後多重比較」視窗。在這個視窗的假設相等的變異方框中，勾選Dunnett選項。

在這個選項的控制種類(Y)下拉選單裡，選擇自變項裡控制組的位置，因為只有「第一個」和「最後一個」兩個選擇，所以資料編碼時須特別注意控制組被分配的值，只能為所有群組裡的最小值或最大值。在不同治療方法和輕度憂鬱症治療效果的例子裡，安慰劑控制組被分配在最後一組，所以點選「最後一個」。

另外，在檢定長方框中，能夠選擇雙尾檢定或單尾檢定。由於這裡使用雙尾檢定，所以點選雙邊(2)。顯著水準(F)長框裡可輸入您事先設定的α水準，預設值為0.05。全部完成後，點選視窗下方的繼續(C)，回到「單因子變異數分析」視窗後，再點選確定。

經過上述的操作步驟後，SPSS會輸出兩個表格。第1個表格為單因子變異數分析的顯著性檢定結果，這部分內容的相關說明請參考單因子變異數分析的假設檢定。

第2個表格為Dunnett檢定的分析結果，如下表。從這個表格可看出，Dunnett檢定進行了兩組的成對比較，第1組為relax和placebo組、第2組為talk和placebo組。使用SPSS時，可藉由獲得分析結果的 $p$ 值（表中的「顯著性」欄）和α水準的比較來評估顯著性檢定的結果。

在兩組成對比較裡，僅有talk和placebo組的 $p$ 值小於α水準（ $0.006<0.05$ ），代表talk和placebo的平均數存在顯著差異。因此，Dunnett檢定的結果指出談話治療和安慰劑控制對輕度憂鬱症的治療效果存在顯著的差異，而平均值差異顯示談話治療的個案接受治療的次數明顯地少於安慰劑控制的個案。

如果自變項裡各個群組的個數不相等，SPSS會直接使用上面的公式(2)來執行Dunnett檢定並輸出分析結果至「多重比較」表格裡，您無須做任何特別的設定。

以上為本篇文章對Dunnett檢定的介紹，希望透過本篇文章，您瞭解了Dunnett檢定的意義和計算方法，也學會了利用SPSS執行Dunnett檢定的操作方法。

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參考資料

Dunnett, C. W. (1955). A multiple comparisons procedure for comparing several treatments with a control. Journal of the American Statistical Association, 50(272), 1096-1121. https://doi.org/10.2307/2281208

Dunnett, C. W. (1964). New tables for multiple comparisons with a control. Biometrics, 20(3), 482-491. https://doi.org/10.2307/2528490

Dunnett檢定的定義和計算

Dunnett檢定的範例操作

運用SPSS執行Dunnett檢定

參考資料

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