肯德爾等級相關係數的意義和計算

肯德爾等級相關係數（Kendall´s tau）是測量變項間關聯性的一種相關係數，以符號 $\tau$ 表示，為一個無母數統計量。不像皮爾森積差相關係數適用在等距尺度或比率尺度的變項上，肯德爾等級相關係數用在次序尺度的變項上。

肯德爾等級相關係數和斯皮爾曼等級相關係數（Spearman´s rho）同樣用來測量兩次序尺度變項間的相關性，但較不常被使用。實際上，當樣本總數很小且變項中有很多相同等級存在時，肯德爾等級相關係數是一個比斯皮爾曼等級相關係數更好的母體參數（population parameter）估計值，且可計算出標準誤差（Howell, 2009, p. 306）。

斯皮爾曼等級相關係數將等級（次序）當作分數，進而計算兩次序尺度變項之間的相關性；肯德爾等級相關係數則是運用等級反轉（inversion）或不協調（discordant）的個數來計算。

關於斯皮爾曼等級相關係數的詳細介紹，可參考斯皮爾曼等級相關係數的意義和計算。本篇文章將介紹肯德爾等級相關係數的基本計算方法，並比較該相關係數和斯皮爾曼等級相關係數的差異，最後再示範利用SPSS取得肯德爾等級相關係數的操作方法。若您只對某一部分的內容感興趣，也可點選下方的連結，即可直接跳至您想瞭解的內容。

肯德爾等級相關係數的計算
與斯皮爾曼等級相關係數的比較
運用SPSS取得肯德爾等級相關係數

肯德爾等級相關係數的計算

肯德爾等級相關係數是以資料裡等級不協調的個數為基礎，用來測量兩個次序尺度變項間關聯性的一種相關係數。如果C代表協調（concordant）配對的總個數，D代表不協調（discordant）配對的總個數，在沒有相同等級的情況下，肯德爾等級相關係數的基本公式如下：

(1) $\begin{equation*}\tau = \frac {C-D}{\dfrac {N(N-1)}{2}}=\frac {C-D}{C+D}\end{equation*}$

舉個例子來說明，假設有場演講比賽，參與者共有10位，兩位評審給這10位參與者名次。第1位評審給的名次為RANK1，第2位評審給的名次為RANK2，如下表，試問這兩位評審所給名次的相關性是多少呢？換句話說，他們的一致性有多高呢？

首先，將第1位評審所給的名次從小至大排列，再藉由第2位評審所給的名次來決定協調配對（C欄）和不協調配對（D欄）的個數，見下表。

此處，協調配對的個數是指在某一個等級下面的細格中，大於該等級的細格數目。例如第2位評審給第1位參與者的名次為1，在1下方的細格中，大於1的細格有9個，所以第1位參與者在C欄的數值為9；第2位參與者的名次為5，其下方大於5的細格有5個，所以第2位參與者在C欄的數值為5，以此類推。

相反地，不協調配對的個數是指在某一個等級下面的細格中，小於該等級的細格數目。例如第2位評審給第1位參與者的名次為1，在1下方的細格中，沒有小於1的數值，所以第1位參與者在D欄的數值為0；第3位參與者的名次為3，其下方小於3的細格有1個，所以第3位參與者在D欄的數值為1，以此類推。

經過上述的步驟後，協調配對的總個數為C欄所有數值的總和，為32；不協調配對的總個數為D欄所有數值的總和，為13。將C和D各自的總和帶入上面肯德爾等級相關係數的公式(1)中，計算過程如下：

$\begin{equation*}\tau &=\frac {C-D}{C+D} = \frac {32-13}{32+13} \approx 0.422\end{equation*}$

計算結果指出肯德爾等級相關係數為0.422，正數的相關係數代表兩位評審的看法趨向一致。不過0.422屬於中等程度的關聯，顯示兩位評審對於10位參與者的表現，雖然整體上傾向一致但仍帶有些許不同的見解。

與斯皮爾曼等級相關係數的比較

斯皮爾曼等級相關係數和肯德爾等級相關係數同樣用來測量兩個次序尺度變項間的相關性，不過前者的數值通常會大於後者。同樣使用上面的例子，但改用斯皮爾曼等級相關係數來看兩位評審所給名次的一致性程度。

由於資料中並無相同等級的存在（也就是沒有平手的情況），所以可以使用較簡單的斯皮爾曼等級相關係數的公式。讓 $d_i$ 為兩變項配對等級的差值、 $\sum d_i^2$ 為配對等級差值平方和、 $N$ 為配對等級的總組數（若無遺漏值，也等於樣本總數），該公式為：

(2) $\begin{equation*}r_s=1-\frac {6 \sum d_i^2}{N^3-N}\end{equation*}$

首先，將每一位參與者的配對等級差值計算出來，如下表的D欄。接著，將每一個配對等級的差值平方（ $\mathrm {D^2}$ 欄）後相加，得到72。

computation of spearman rho vs kendall tau

再將上表中的數值帶入上面斯皮爾曼等級相關係數的公式(2)中：

$\begin{align*}r_s &=1-\frac {6 \sum d_i^2}{N^3-N} \\&=1-\frac {6 \times 72}{10^3-10} \\&\approx 0.564\end{align*}$

計算結果顯示斯皮爾曼等級相關係數為0.564，這個數值確實大於肯德爾等級相關係數。使用上，Howell（2009）建議肯德爾等級相關係數優先於斯皮爾曼等級相關係數，畢竟肯德爾等級相關係數在樣本數等於或大於10時，已趨近於常態分配，而且是較佳的母體參數估計值。

運用SPSS取得肯德爾等級相關係數

將上面例子的變項數值輸入至SPSS資料編輯器中，輸入完成後，點選功能表的分析 » 相關 » 雙變異數，帶出「雙變量相關性」視窗。關於SPSS的資料輸入方法，請參考SPSS操作環境和資料輸入。

在「雙變量相關性」視窗中，將RANK1和RANK2兩變項移至右邊的變數(V)方框中。接著，取消勾選相關係數長框中的Pearson，改勾選Kendall´s tau-b。完成後，按下視窗最下方的確定。

經過上述的步驟後，SPSS會輸出如下的「相關性」表格。不論是看RANK1或RANK2的欄位都可以，肯德爾等級相關係數為0.422，和上面紙筆計算的結果相同。

這裡有一點要注意的是，因為本文的例子並沒有存在相同等級，所以可使用上面的肯德爾等級相關係數的公式(1)，稱為Kendall´s tau-a。若資料裡存在相同等級，則公式的分母須做如下的調整，稱為Kendall´s tau-b，這也是SPSS採用的演算方法。

$\begin{equation*}\tau_b = \frac {C-D}{\sqrt { \left [ \dfrac {N(N-1)}{2}-\sum {\dfrac {t_i^2-t_i}{2}} \right ] \left [ \dfrac {N(N-1)}{2}-\sum {\dfrac {t_j^2-t_j}{2}} \right ] }}\end{equation*}$